8 / 21
Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
53
R
min ( , , ).
n
k
x X
f x q
Пусть также
R
n
x
— предельная точка последовательности
{ }.
k
x
Тогда
*
( ) ( ).
f x f x
◄
Согласно теореме 1,
*
R
0
, ,
( )
min 1, ( 1) ,
.
n
x X
f x q
f x q
m q
Сглаживающая аппроксимация плюс-функции
( ),
x
с учетом
( , , )
k k
s x p q
( , , ),
k
s x q
на открытом интервале
(
, )
k k
q q
представлена в виде
( , , )
k
x q
( , , ).
k
s x q
Поскольку сглаженная плюс-функция
( , , )
k
x q
выпукла, на интер-
вале
(
, )
k k
q q
она является монотонно возрастающей. Следовательно,
0
lim ( , , ) ( ) ( ) .
k
k
q
x q
x x
Откуда с учетом непрерывности функции
( )
f x
и
теоремы 1, следует результат.
►
Замечание.
Функция
, ,
x q
является в соответствии с введенным выше опреде-
лением сглаживающей аппроксимацией плюс-функции
( ) .
x
Кроме того, согласно рабо-
те [26], имеет место
,
0
1,
если
0;
lim ( , , )
( )
0,
если
;
[0, 1], если
0,
k
k
x k k
x x q
x
x q
x
x q
x
а также
( ) ( ) ,
G x x
где
( , , )
x k k
x q
— производная функции
( , , )
k
x q
в точке
,
k
x
R;
x
( )
x
— субдифференциал Кларка плюс-функции
( ) ;
x
( )
G x
— субдиффе-
ренциал, ассоциированный со сглаживающей функцией
( , , ).
x q
Определим для вектор-функции
x
т
1
( ( ), ...,
( )) ,
m
x
x
компоненты которой
: R R,
n
i
,
m
i I
следующие функции:
т
1
(
) (( ( )) , ..., ( ( )) ) ;
m
x
x
x
т
1
(
, , ) ( ( ( ), , ), ..., ( ( ), , )) .
m
x q
x q
x q
Здесь
(
, , )
x q
— сглаживающая аппроксимация вектор-функции
.
x
Теорема 2.
Пусть
( ) (( ( ) ),
f x F x
где функции
: R R
n
m
и
: R R,
m
F
определенные на выпуклом множестве
,
X
непрерывно дифференцируемы. Если
функции
F
и
,
i
,
m
i I
выпуклы и
F
монотонно неубывающая функция, то
для любого фиксированного
0
q
сглаживающая аппроксимация
( , , )
f x q
функ-
ции
f
есть выпуклая функция.
◄
Для любого фиксированного
0
q
сглаживающая функция
, ,
x q
плюс-функции
( )
x
является выпуклой и монотонно неубывающей (см. пред-
ложение). Тогда для любых
,
x X
y X
и
(0, 1)
имеет место