5 / 21
В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов, А.В. Сулимов
50
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
числительная процедура, позволяющая определять значения функции в точках
допустимой области. Кроме того, необходимо учесть возможную высокую тру-
доемкость вычисления критериальных функций, что может потребовать значи-
тельных вычислительных ресурсов.
Методы локальной оптимизации.
Рассмотрим скалярную задачу оптими-
зации:
найти
min ( ),
x X
f x
(8)
где допустимое множество
R
n
X
переменных управления
x
является замкну-
тым и выпуклым, а целевая функция
: R R
n
f
предполагается непрерывной и
почти всюду дифференцируемой на множестве
.
X
Существенный интерес пред-
ставляет случай, когда функция
f
— это негладкая невыпуклая функция. При
этом задачи, формулируемые аналогично (8), относят к классу задач недифферен-
цируемой оптимизации [25]. Для их решения применяют специальные методы,
например, модифицированный метод дискретных градиентов, семейство bundle-
методов, метод гиперболической сглаживающей функции и др. [25–27]. Рассмат-
риваемый далее подход основан на построении сглаживающих аппроксимаций
критериальных функций с последующим применением эффективных методов,
разработанных для задач дифференцируемой оптимизации. Одно из его преиму-
ществ — возможность создания программного обеспечения, позволяющего нахо-
дить приближенные решения при относительно низкой вычислительной стоимо-
сти. Подход предполагает замену каждой недифференцируемой функции некото-
рой ее аппроксимацией, которая будет выпуклой и дифференцируемой в области
допустимых значений переменных управления.
Определение [26].
Пусть
: R R
n
f
— непрерывная функция. Сглаживаю-
щей для функции
f
называют функцию
: R R R,
n
f
если
( , )
f x
непре-
рывно дифференцируема на множестве
R
n
для любого фиксированного
0
и
любого
R ,
n
x
причем
0
lim ( , ) ( ).
f x
f x
На основе введенного определения в работе [26] предложен следующий
численный метод сглаживания.
1.
Инициализация.
Определить параметрическую сглаживающую функцию
: R R R
n
f
для аппроксимации функции
.
f
2.
Внутренний цикл итераций.
Применить алгоритм поиска приближенно-
го решения (точное решение не требуется) гладкой задачи оптимизации:
найти
min ( , )
k
x X
f x
(9)
для фиксированного
0.
k