11 / 21
В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов, А.В. Сулимов
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
( ) ( ( )),
f z F P z
[0, 1],
z
где
( )
P z
—
кривая Пеано. Для функции
( )
f z
выполняется условие Гельдера
1/
( ) ( )
z
,
N
f z f z H z
,
[0, 1],
z z
с константой Гельдера
2
3;
H L N
L
— константа Липшица исходной мно-
гомерной функции
( ).
F x
Следует отметить, что построенная численными методами кривая аппрокси-
мирует теоретическую кривую Пеано — Гильберта с точностью, определяемой
заданной плотностью развертки. Метод редукции многомерных задач обладает
такими важными свойствами, как непрерывность и сохранение равномерной
ограниченности разностей функций при ограниченной вариации аргумента. К
недостаткам следует отнести потерю части информации о близости точек в ис-
ходном многомерном пространстве. Современная версия метода, существенно
использующая процедуры оценки констант Липшица и Гельдера, представлена в
работе [20]. Указанный подход реализует новый алгоритм SFCE, основанный на
модифицированном методе кривой, заполняющей пространство, в сочетании с
оценкой липшицевых и гельдеровых констант в процессе итераций.
Гибридные алгоритмы.
Структуры алгоритмов глобальной минимизации
построены на основе стохастического алгоритма M-PCA [21], объединенного с
процедурами поиска локальных минимумов не всюду дифференцируемых
функций. Работа современного алгоритма глобальной оптимизации M-PCA ос-
нована на использовании аналогии с физическими процессами абсорбции и
рассеяния частиц при ядерных реакциях. В простейшей версии алгоритма для
исследования области поиска применена одна частица. На начальном шаге вы-
брано пробное решение (Old_Config), которое затем модифицируют стохасти-
ческим возмущением (Perturbation()), что позволяет найти новое решение
(New_Config). С помощью функции Fitness() дана сравнительная оценка нового
и предыдущего решений, на основании которой новое решение может быть
принято или отвергнуто. Если новое решение отвергнуто, то происходит пере-
ход к функции Scattering(), реализующей схему Метрополиса. Для сканирования
области, перспективной на минимум, применяют функции Perturbation() и
Small_Perturbation(). Новое решение принимают, если оно лучше предыдущего
(абсорбция); если найденное решение хуже предыдущего, то происходит пере-
ход в отдаленную область пространства поиска (рассеяние), что позволяет пре-
одолевать локальные минимумы. Эффективность описанного поиска глобаль-
ного решения алгоритмом значительно повышается за счет одновременного
использования большого числа частиц. Такой подход реализует алгоритм
M-PCA, который непосредственно ориентирован на применение в среде парал-
лельных вычислений. Наилучшее решение определяют с учетом данных о всех
частицах, участвующих в процессе. При выбранном числе частиц единственным
задаваемым параметром для алгоритма M-PCA является число итераций.