10 / 21
Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
55
Шаг 2.
Определить первое значение
0, 1,...,
r
при котором для
1/ 2
r
будет выполнено неравенство
2
, ,
, ,
;
k
k
k
k
f x w p q f x p q
w
если такое
0
r r
найдено, то принять
0
1
2 ,
.
r
k
k
k
k
k
x x w
Перейти к шагу 1.
Шаг 3.
Критерий останова:
0.
k
w
Локальную сходимость представленного выше алгоритма минимизации
LMSI при использовании двухпараметрических сглаживающих аппроксимаций
критериальной функции для случая простых ограничений устанавливает сле-
дующее утверждение.
Теорема 3 [28].
Пусть выбраны параметры
0,
0.
p q
Если числа
, ,
j
j
a b
,
j J
конечны и градиент функции
, ,
f x p q
удовлетворяет условию Липши-
ца, то во всякой предельной точке последовательности
,
k
x
0, 1,...,
k
удовле-
творяются необходимые условия минимума.
Во многих практических приложениях физические условия, учитываемые
при формулировке экстремальной задачи, могут налагать ограничения на моде-
лирование. Поэтому критериальные функции обычно не обладают такими
сильными математическими свойствами, как липшицева непрерывность, диф-
ференцируемость и др. При наличии шума реализация процедур вычисления
производных становится затруднительной и ненадежной. Кроме того, критери-
альные функции, вычисление которых проводят с использованием стандартных
коммерческих кодов, следует рассматривать как заданные в форме черного
ящика. Указанные причины приводят к необходимости применения методов
оптимизации без вычисления производных. К числу актуальных методов этого
класса относят метод редукции размерности задачи (метод кривой, заполняю-
щей пространство), реализованный, например, в гибридном алгоритме
M-PCASFC [29]. Выбор метода редукции размерности задачи, который предна-
значен собственно для поиска глобального экстремума, обусловлен тем, что во
многих случаях градиентные алгоритмы сходятся медленно и при очень боль-
ших областях поиска метод редукции оказывается недостаточно эффективным.
Для решения задачи липшицевой минимизации исходную многомерную задачу
редуцируют к эквивалентной одномерной с использованием кривой Пеано, по-
строение которой выполняют по схеме Гильберта. Предположим, что критери-
альная функция удовлетворяет условию Липшица
( ) ( )
,
f x f x L x x
,
[ , ],
x x a b
(16)
с неизвестной константой
,
L
0
,
L
по эвклидовой норме. Тогда поиск ми-
нимума удовлетворяющей условию (16) функции
( ),
F x
R ,
n
x
на гиперкубе
эквивалентен определению (глобального) минимума одномерной функции
( )
f z
на единичном интервале [20]: