7 / 21
В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов, А.В. Сулимов
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
Выделим на числовой оси открытый интервал
( , ),
p q
содержащий точку, в
которой плюс-функция
x
имеет указанную особенность, и на этом интерва-
ле заменим плюс-функцию некоторой приближенной функцией, выпуклой и
дифференцируемой в каждой точке по построению. Пусть выбраны числа
0
p
и
0.
q
Введем двухпараметрическую аппроксимацию плюс-функции
: R R
[28]:
0, если
;
, ,
, ,
, если
;
, если
.
x p
x p q s x p q
p x q
x
x q
(13)
Здесь
,
p q
— параметры аппроксимации, определяющие левую и правую гра-
ницы открытого интервала
( , ),
p q
на котором задана сглаживающая функция
, ,
.
s x p q
Приближенная функция
, ,
x p q
совпадает с исходной плюс-
функцией
x
всюду, за исключением интервала
( , ).
p q
Потребуем, чтобы
функция
, ,
s x p q
была выпуклой и по крайней мере один раз дифференциру-
емой на интервале
( , ).
p q
При этом
0, ,
, ,
s p q p p q
где
,
p q
определя-
ется свойствами сглаживающей функции. Некоторые существенные свойства
сглаженной плюс-функции устанавливают следующие утверждения.
Лемма 1 [28].
Если аппроксимирующая функция
: R R
определена в виде
(13) и заданы параметры
0,
0,
p q
то
0, 0
lim ( , , ) ( ).
p q
x p q x
Лемма 2 [28].
Пусть выполнены предположения леммы 1. Тогда
0 ( , , ) ( )
( , )
R.
x p q x p p q x
В работе [28] также получена оценка приближенного решения задачи ло-
кальной минимизации определенной в виде (10) не всюду дифференцируемой
критериальной функции
: R R
n
f
при использовании двухпараметрических
сглаживающих аппроксимаций.
Теорема 1 [28].
Пусть
*
R
n
x
и
R
n
x
суть точки минимума для функций
( )
f x
и
( , , )
f x p q
соответственно. Тогда
*
R
0 ( , , ) ( )
min 1, ( 1) ( , ) .
n
x X
f x p q f x p
m p q
Представим параметры
,
p q
сглаживающей аппроксимации иначе: выберем
0
q
и постоянную
0,
так что
p q
и
( , ) ( , ).
p q
q q
Введем обозна-
чение
, ,
( , , ).
x q
x q
Предложение.
Пусть
{ } 0
k
q
есть последовательность положительных
чисел; предположим, что
k
x
—
решение гладкой задачи