Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров, с использованием гибридных алгоритмов

Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

критерии задачи находятся в конфликте. Возможна следующая формулировка

векторной задачи оптимизации сингулярных чисел:

требуется найти









 

max

min

min ( ( )),

( ( )) .

x X

A x

(4)

Следует отметить, что в сформулированных задачах оптимизации сингу-

лярных чисел, включая векторную задачу (4), в общем случае частные критерии

являются липшицевыми, многоэкстремальными и не всюду дифференцируе-

мыми функциями [13]. Указанные особенности рассматриваемых экстремаль-

ных задач требуют выбора специальных методов их решения, в частности, ме-

тодов глобальной недифференцируемой оптимизации. К настоящему времени

разработано и находит применение большое число алгоритмов глобальной оп-

тимизации [19]. Накопленный опыт приложений демонстрирует, с одной сто-

роны, недостаточную эффективность детерминированных методов (существен-

но ограничена размерностью задачи), с другой — потребность в значительных

вычислительных ресурсах при использовании стохастических методов [20, 21].

Этим обусловлена актуальность разработки гибридных алгоритмов глобальной

оптимизации [22, 23]. Подобные алгоритмы объединяют стохастические алго-

ритмы сканирования пространства переменных и детерминированные проце-

дуры локального поиска. Для решения векторной задачи (4) с многоэкстре-

мальными частными критериями требуется применение специальных методов

многокритериальной глобальной оптимизации [24]. Далее рассмотрена экстре-

мальная задача в скалярной постановке, для решения которой предложена чис-

ленная методика с применением гибридных алгоритмов глобальной недиффе-

ренцируемой оптимизации.

В обобщение постановок скалярных экстремальных задач (2), (3) для сингу-

лярных чисел матриц, зависящих от параметров, рассмотрим задачу глобальной

оптимизации, формулируемую в виде:

найти

 

 



min ( ),

x X

f x

(5)

где





 

 

: ( ) 0,

;

X x D g x i I

(6)





    

R :

;

D x

a x b j J

(7)

( )

f x

— целевая функция;

 

g x

— функции ограничений задачи,



;

i I







1,...,

— конечное множество индексов;

— число функций ограни-

чений;

— область поиска;

a b

— нижнее и верхнее ограничения на пере-

менную

;



{1,..., }.

Функции

( ),

f x

( ),

g x



i I

задачи (5)–(7) предполага-

ются непрерывными липшицевыми, действительная функция



: R R

явля-

ется многоэкстремальной, не всюду дифференцируемой, и для нее задана вы-