3 / 21
В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов, А.В. Сулимов
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
Постановка задач.
Пусть дана матрица
R
r c
n n
A
с полным столбцовым
рангом,
;
r
c
n n
R
—
множество действительных чисел. Сингулярное разложе-
ние рассматриваемой матрицы определяют в виде [16]
т
,
A U V
(1)
где
1
[ , ... ,
] R
r c
c
n n
n
U u u
— ортонормированное множество левых сингуляр-
ных векторов;
1
diag ,...,
c
n
R
c c
n n
— матрица, содержащая сингулярные
числа матрицы
,
A
упорядоченные (для определенности) по убыванию
1 2
...
0;
c
n
1
[ , ... ,
] R
c c
c
n n
n
V v v
— ортогональная матрица правых
сингулярных векторов;
,
r
c
n n
– число строк и столбцов матрицы
A
. Сингуляр-
ные тройки матрицы
A
(1) могут быть определены в виде
, ,
,
i
i
i
u v
1, ... , .
c
i
n
При оптимизации сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров,
возможны следующие постановки экстремальных задач. Пусть задан вектор пе-
ременных управления (параметров оптимизации)
x
и определена матрица
( ) R .
r c
n n
A x
Решение прямой задачи, связанной с поиском сингулярных чисел
матрицы
( ),
A x
может быть получено как решение задачи на собственные зна-
чения
( ),
i
x
1, ... , ,
c
i
n
матрицы
т
( ) ( ):
A x A x
( )
( ),
i
i
x
x
1,...,
c
i
n
[17]. Не-
которые современные методы определения сингулярных троек, в частности, для
больших матриц, представлены в работах [17, 18].
Задача максимизации
минимального сингулярного числа
min
матрицы
( ) :
A x
требуется найти
min
max ( ( )),
x X
A x
(2)
где
R
n
X
— область допустимых значений переменных управления;
n
— число
переменных управления. В процессе численного решения задачи (2) сингулярные
числа
( ) ,
i
A x
1, 2,... , ,
c
i
n
могут изменяться, при этом выполняется их авто-
матическая перенумерация с упорядочением по убыванию. Следовательно, при
наличии кратных сингулярных чисел критериальная функция сформулированной
задачи оптимизации не является всюду дифференцируемой [9, 13].
Задача минимизации максимального сингулярного числа
max
матрицы
( ):
A x
требуется найти
*
min .
x X
f x
f x
(3)
Здесь
max
;
f x
A x
*
x
— глобальное решение.
В некоторых приложениях может потребоваться одновременная миними-
зация
max
и максимизация
min
матрицы
( ) R ,
r c
n n
A x
причем частные