6 / 21
Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
51
3.
Внешний цикл итераций
. Изменить параметр
k
с тем, чтобы гарантиро-
вать сходимость метода сглаживания к локальному минимуму или к стационар-
ной точке негладкой задачи (8).
В работе [26] отмечено, что эффективность метода сглаживания зависит от
выбора функции для построения сглаживающей аппроксимации, метода реше-
ния гладкой задачи оптимизации (9), а также схемы изменения параметра сгла-
живания
.
k
Так, если функция
f
ограничена и выполнено условие
( ) ( , )
f x f x
R ,
n
x
0,
то задача (9) имеет решение для любого фиксированного параметра
0.
k
Рассмотрим задачу (5)–(7), ограничившись поиском локального решения.
Предварительно исследуем процедуру минимизации некоторой функции
: R R,
n
f
определенной в виде [28]
R
( ) max
( ) ,
1, ... ,
.
n
i
m
x X
f x
x i I
m
(10)
Здесь
X
— допустимое множество; предположим, что все функции
( ),
,
i
m
x i I
выпуклы и непрерывно дифференцируемы.
Целевую функцию (10) можно определить в эквивалентной форме
1
2
1
( )
( )
( ) ( )
f x
x
x
x
1
2
1
...
(
( )
( ) ( ( )
( )))... ,
m
m
m
m
x
x
x
x
(11)
где использованы функции
R
( )
( )
max 0,
( ) ,
.
n
i
i
i
m
x X
x
x
x i I
(12)
Содержание подхода заключается в том, чтобы каждую функцию
( ) ,
i
x
,
m
i I
входящую в (11), заменить некоторой гладкой функцией, построить
сглаженную приближенную целевую функцию, а затем применить эффективные
методы гладкой минимизации. При возрастании точности аппроксимации
функций (12) имеет место сходимость приближенного локального решения к
точному решению.
Существенно, что уже в одномерном случае плюс-функция
( )
( )
x
x
R
max{0, }
x
x
в точке
0
x
дифференцируема только по направлению; при этом
плюс-функция
( )
x
является выпуклой и глобально непрерывной по Липшицу.
Известно (например, см. [26]), что для любой локально непрерывной по Лип-
шицу функции
f
можно построить сглаживающую функцию с использованием
свертки
R
( , )
(
) ( )
n
f x
f x y y dy
R
( ) (
) ,
n
f y x y dy
,
R ,
n
x y
где
: R R
n
— гладкая функция ядра.