6 / 14
Рис. 1. Ориентация оси
Oz
вращения
эллипсоидального включения отно-
сительно “макроосей”
представительным элементом структуры рассмотренного выше ком-
позита с одинаковой ориентацией включений. Поэтому эффективные
коэффициенты теплопроводности этой частицы будут совпадать со
значениями
λ
∗
z
и
λ
∗
r
. Тогда компоненты тензора эффективной тепло-
проводности частицы в “макроосях” можно представить в виде [13]
λ
∗
11
=
λ
∗
r
(sin
2
ψ
+ cos
2
ψ
cos
2
θ
) +
λ
∗
z
cos
2
ψ
sin
2
θ
;
(10)
λ
∗
22
=
λ
∗
r
(cos
2
ψ
+ sin
2
ψ
cos
2
θ
) +
λ
∗
z
sin
2
ψ
sin
2
θ
;
(11)
λ
∗
33
=
λ
∗
r
sin
2
θ
+
λ
∗
z
cos
2
θ
;
(12)
λ
∗
12
=
λ
∗
21
= (
λ
∗
r
−
λ
∗
z
) sin
ψ
cos
ψ
sin
2
θ
;
(13)
λ
∗
13
=
λ
∗
31
= (
λ
∗
r
−
λ
∗
z
) cos
ψ
sin
θ
cos
θ
;
(14)
λ
∗
23
=
λ
∗
32
= (
λ
∗
z
−
λ
∗
r
) sin
ψ
sin
θ
cos
θ.
(15)
Для перехода к оценке эффективных коэффициентов теплопровод-
ности композита с конкретной заданной текстурой необходимо предва-
рительно определить в общем виде процедуру осреднения компонент
λ
∗
ij
(
ψ, θ
)
,
j
= 1
,
2
,
3
, тензора эффективной теплопроводности отдель-
ных составных частиц. Функцию
f
(
ψ, θ
)
, описывающую долю объ-
ема композита, занятого составными частицами, ориентация которых
определена текущими значениями аргументов этой функции, принято
называть текстурной [5, 14]. Вероятностная трактовка такой функции
связана с понятием совместной плотности распределения случайного
вектора [15], координатами которого являются углы
ψ
и
θ
. Кроме этих
углов текстурная функция в общем случае может зависеть и от коор-
динат
x
i
, что соответствует неоднородной текстуре композита в его
объеме. Если текстура однородна, то осредненные компоненты тензо-
ра эффективной теплопроводности композита принимают вид [13]
ˉ
λ
∗
ij
=
1
4
2
π
Z
0
dψ
π
Z
0
f
(
ψ, θ
)
λ
∗
ij
(
ψ, θ
) sin
θdθ.
(16)
Однородная по объему композита текстура может быть комби-
нированной, включающей набор
n
дискретных идеальных текстур и
непрерывно распределенную, характеризуемую текстурной функцией
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
93