2 / 14
Введение.
Область применения композитов в качестве конструк-
ционного, теплозащитного или функционального материала зависит
от комплекса свойств, среди которых важное место занимают тепло-
физические характеристики, в том числе теплопроводность. Кроме
свойств включений и матрицы композита его теплопроводность зави-
сит от объемной концентрации включений, их формы и ориентации,
определяемой текстурой композита. Представление формы включе-
ний эллипсоидом вращения (удлиненного или сплюснутого) позво-
ляет моделировать многообразие реальных форм, включая предель-
ные (игольчатые и пластинчатые формы характерны для нанотрубок
и фрагментов графена, рассматриваемых в качестве армирующих эле-
ментов перспективных композитов [1]).
Особенность включения эллипсоидальной формы состоит в том,
что при тепловом взаимодействии с однородной изотропной средой
в таком включении возникает одномерное температурное поле [2, 3].
Это свойство позволяет для оценки эффективной теплопроводности
композита как изотропной гетерогенной среды с хаотически ориен-
тированными включениями применить метод самосогласованного по-
ля, кратко называемого методом самосогласования [4–6], осредняя по
объему композита возмущения температурных полей во включени-
ях. Преобразованием дифференциального уравнения, описывающего
установившееся распределение температуры в окружающей включе-
ние однородной, но анизотропной среде, удается существенно расши-
рить возможности этого метода [7], используя его для оценки эффек-
тивной теплопроводности текстурированных композитов с анизотроп-
ными включениями, имеющими форму, близкую к эллипсоидальной. В
настоящей работе метод самосогласования использован применитель-
но к текстурированному композиту с трансверсально изотропными
включениями в форме эллипсоидов вращения.
Модель теплового взаимодействия включения с однородной
средой.
Пусть включение в форме эллипсоида вращения расположено
в неограниченном объеме однородной среды с искомыми эффектив-
ными характеристиками теплопроводности. Включение примем транс-
версально изотропным относительно оси вращения эллипсоида. Вве-
дем цилиндрическую систему
Orϕz
координат, начало которой распо-
ложено в центре эллипсоида, а координатная ось
Oz
совпадает с осью
вращения. Установившееся распределение температуры
T
(
r, ϕ, z
)
в эл-
липсоиде должно удовлетворять дифференциальному уравнению [2]
λ
r
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
+
λ
r
r
2
∂
2
T
∂ϕ
2
+
λ
z
∂
2
T
∂z
2
= 0
,
(1)
где
λ
r
и
λ
z
— коэффициенты теплопроводности материала включения
в радиальном и осевом направлениях.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
89