4 / 14
где
D
0
z
=
ˉ
b
∗
2
∞
Z
0
dv
(1 +
v
)( ˉ
b
2
∗
+ 1)
3
/
2
.
Это поле будет иметь составляющую градиента в направлении коор-
динатной оси
Oz
G
0
z
=
λ
∗
z
G
z
z
λ
∗
z
+ (
λ
z
−
λ
∗
z
)
D
0
z
.
(5)
Теперь также на весьма большом расстоянии от центра включения
по сравнению с длиной наибольшей полуоси приведенного эллипсо-
ида зададим невозмущенное температурное поле с составляющей
G
ρ
градиента лишь в одном из радиальных направлений. Тогда в приве-
денном эллипсоиде одномерное температурное поле будет иметь со-
ставляющую градиента лишь в этом радиальном направлении [2, 3]
G
0
ρ
=
λ
∗
z
G
ρ
λ
∗
z
+ (
λ
ρ
−
λ
∗
z
)
D
0
ρ
=
λ
∗
r
G
ρ
λ
∗
r
+ (
λ
r
−
λ
∗
r
)
D
0
ρ
.
(6)
Здесь
D
0
ρ
= (1
−
D
0
z
)
/
2
.
Применение метода самосогласования.
В соответствии с ме-
тодом самосогласования [11, 12] необходимо осредненные по объ-
ему композита составляющие градиента возмущенного температурно-
го поля во включениях и в частицах матрицы приравнять нулю. Ис-
пользовав формулы (5) и (6), для этих составляющих во включениях
получим
Δ
G
z
=
G
0
z
−
G
z
=
G
z
D
0
z
λ
∗
z
−
λ
z
λ
∗
z
+ (
λ
z
−
λ
∗
z
)
D
0
z
;
Δ
G
ρ
=
G
0
ρ
−
G
ρ
=
G
ρ
D
0
ρ
λ
∗
r
−
λ
r
λ
∗
r
+ (
λ
r
−
λ
∗
r
)
D
0
ρ
.
(7)
Для частиц матрицы допустимо выбрать произвольную форму при
условии, что их характерный размер может изменяться от некоторого
конечного до бесконечно малого. Выполнение такого условия позво-
ляет в объеме, занимаемом композитом, заполнить все возможные пу-
стоты между эллипсоидальными включениями. Примем, что с учетом
изменения масштаба в радиальном направлении форма частиц матри-
цы является шаровой, для которой геометрический коэффициент в
любом направлении
D
◦
= 1
/
3
[2]. Изотропные в исходном состоянии
частицы матрицы с коэффициентом теплопроводности
λ
m
при измене-
нии масштаба станут трансверсально изотропными относительно оси
Oz
, сохранив значение
λ
m
в направлении этой оси и приобретя зна-
чение
λ
0
m
=
λ
m
(
λ
∗
z
/λ
∗
r
)
в радиальном направлении. Тогда в частицах
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
91