3 / 14
При расположении осей вращения таких включений в композите
параллельно одному направлению он также будет трансверсально изо-
тропным относительно этого направления [8, 9] и его свойства будут
определять искомые эффективные коэффициенты теплопроводности
λ
∗
r
и
λ
∗
z
в радиальном и осевом направлениях. Установившееся распре-
деление температуры
T
∗
(
r, ϕ, z
)
в однородной среде, моделирующей
свойства композита, удовлетворяет дифференциальному уравнению
λ
∗
r
r
∂
∂r
r
∂T
∗
∂r
+
λ
∗
r
r
2
∂
2
T
∗
∂ϕ
2
+
λ
∗
z
∂
2
T
∗
∂z
2
= 0
,
(2)
аналогичному уравнению (1). В силу осевой симметрии в уравнениях
(1) и (2) вторая производная температуры по угловой координате
ϕ
будет равна нулю.
Преобразуем уравнение (2), опустив второе слагаемое в его левой
части, к виду
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂T
∗
∂ρ
+
∂
2
T
∗
∂z
2
= 0
,
(3)
где
ρ
=
r
p
λ
∗
z
/λ
∗
r
. Проведенное преобразование равносильно измене-
нию масштаба в направлении радиальной координаты в
p
λ
∗
z
/λ
∗
r
раз,
что приведет к изменению отношения
ˉ
b
=
b
z
/b
r
полуосей исходного
эллипсоида вращения, которое станет равным
ˉ
b
∗
= ˉ
b
p
λ
∗
r
/λ
∗
z
.
Уравнение (3) теперь описывает установившееся распределение
температуры в однородной изотропной среде с коэффициентом тепло-
проводности
λ
∗
z
. Для построения модели теплового взаимодействия с
такой средой трансверсально изотропного включения, имеющего фор-
му эллипсоида вращения с отношением
ˉ
b
∗
полуосей (этот эллипсоид
предложено называть приведенным [10]), необходимо преобразовать
и уравнение (1). Опустив второе слагаемое в левой части этого урав-
нения, запишем
λ
ρ
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂T
∂ρ
+
λ
z
∂
2
T
∂z
2
= 0
,
(4)
где
λ
ρ
=
λ
r
(
λ
∗
z
/λ
∗
r
)
.
Пусть на весьма большом расстоянии от центра включения по срав-
нению с длиной наибольшей полуоси приведенного эллипсоида задано
невозмущенное температурное поле
T
∗
∞
(
z
) =
G
z
z
, имеющее составля-
ющую градиента лишь в направлении координатной оси
Oz
, равную
G
z
. Тогда в приведенном эллипсоиде возникнет одномерное темпера-
турное поле [2, 3]
T
(
z
) =
λ
∗
z
G
z
z
λ
∗
z
+ (
λ
z
−
λ
∗
z
)
D
0
z
,
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4