5 / 14
матрицы в осевом и радиальном направлениях возникнут возмущения
температурного поля с составляющими градиента
Δ
G
◦
z
=
G
z
λ
∗
z
−
λ
m
2
λ
∗
z
+
λ
m
; Δ
G
◦
ρ
=
G
ρ
λ
∗
r
−
λ
m
2
λ
∗
r
+
λ
m
.
(8)
Осреднение по объему композита составляющих градиента возму-
щенного температурного поля в частицах матрицы и во включениях
приводит к двум равенствам
Δ
G
◦
z
(1
−
C
V
)+Δ
G
z
C
V
= 0
,
Δ
G
◦
ρ
(1
−
C
V
)+
+ Δ
G
ρ
C
V
= 0
,
где
C
V
— объемная концентрация включений в компо-
зите. Каждое равенство содержит только одну неизвестную величину
(
λ
∗
z
или
λ
∗
r
), определяемую соответствующим квадратным уравнением
(1
−
D
0
z
−
(1
−
3
D
0
z
)
C
V
)Λ
2
z
−
−
(1
−
D
0
z
(1 + ˉ
λ
z
)
−
(1
−
3
D
0
z
ˉ
λ
z
)
C
V
)Λ
z
−
D
0
z
ˉ
λ
z
= 0;
(1
−
D
0
ρ
−
(1
−
3
D
0
ρ
)
C
V
)Λ
2
z
−
−
(1
−
D
0
ρ
(1 + ˉ
λ
z
)
−
(1
−
3
D
0
ρ
ˉ
λ
z
)
C
V
)Λ
z
−
D
0
ρ
ˉ
λ
z
= 0
,
(9)
где
Λ
z
=
λ
∗
z
/λ
m
;
ˉ
λ
z
=
λ
z
/λ
m
;
Λ
r
=
λ
∗
r
/λ
m
;
ˉ
λ
r
=
λ
r
/λ
m
. Каждое
уравнение системы (9) имеет лишь одно положительное решение.
При заданных значениях полуосей
b
z
и
b
r
для исходной формы
эллипсоида вращения, параметров
ˉ
λ
z
,
ˉ
λ
r
и
C
V
систему уравнений (9)
можно решить последовательными приближениями. Для этого сначала
следует задать ожидаемое значение
ˉ
b
∗
, вычислить значения
D
0
z
и
D
0
ρ
, а
затем решить каждое уравнение системы (9) независимо, что позволит
уточнить значение
ˉ
b
∗
и продолжить последовательные приближения.
Однако при количественном анализе полученных соотношений проще
решать уравнения (9) для серии заданных значений
ˉ
b
∗
[7], а потом
по вычисленным значениям
Λ
r
и
Λ
z
находить соответствующие этой
серии значения
ˉ
b
=
b
z
/b
r
= ˉ
b
∗
p
λ
∗
z
/λ
∗
r
.
Оценки для текстурированного композита.
Следует отметить,
что при хаотической ориентации включений, когда любое положение
их осей вращения в пространстве равновероятно, композит будет изо-
тропным [5] с коэффициентом теплопроводности
λ
∗
=
λ
∗
z
+ 2
λ
∗
r
. При
наличии текстуры, определенной в прямоугольной декартовой системе
координат с осями
Ox
i
(“макроосями”) и ортами
e
i
,
i
= 1
,
2
,
3
, необхо-
димо для каждого трансверсально изотропного эллипсоида вращения
задать ориентацию его оси вращения
Oz
. Эту ориентацию однозначно
определяют углы
θ
и
ψ
(рис. 1).
Представим композит состоящим из различно ориентированных
составных частиц в форме эллипсоида вращения, включающих элли-
псоидальное включение с заданным значением
ˉ
b
и слой материала
матрицы. Составная частица и включение геометрически подобны с
коэффициентом подобия
C
−
1
/
3
V
. Каждая составная частица является
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4