8 / 11
при
k
σ
→ ∞
,
и
E
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
)
можно сколь угодно точно аппрок-
симировать величиной
E
X
2
0
˜
f
ε
(
η
1
X
0
)
, увеличивая по мере необхо-
димости постоянную
k
σ
. Оценку точности можно получить, вычи-
сляя момент
E
X
2
0
по формуле (9), которая при
n
= 2
имеет вид
E
X
2
0
=
E
ε
2
1
1
−
ϕ
2
−
E
η
2
1
.
Более точную оценку точности можно найти, используя нера-
венство Коши – Буняковского и второе неравенство Чебышeва. Обо-
значив через
I
(
|
η
1
X
0
|
> σk
σ
)
индикаторную функцию множества
{|
η
1
X
0
|
> σk
σ
}
, получим
E(
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
))
−
E(
X
2
0
˜
f
ε
(
η
1
X
0
)) =
= E
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
)
I
(
|
η
1
X
0
|
> σk
σ
)
≤
≤
q
E (
X
4
0
f
2
ε
(
η
1
X
0
))E (
I
(
|
η
1
X
0
|
> σk
σ
))
≤
≤
q
E
X
4
0
e
−
k
2
σ
/σ
2
8
πσ
2
Φ
2
0
(
k
σ
)
E
η
2
1
E
X
2
0
σ
2
k
2
σ
=
E
η
2
1
E
X
2
0
p
E
X
4
0
8
πσ
4
Φ
2
0
(
k
σ
)
k
2
σ
e
−
k
2
σ
/σ
2
.
(19)
Таким образом, если величины
η
t
и
ε
t
имеют усеченное нормальное
распределение, то
E
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
)
≈
1
2Φ
0
(
k
σ
)
σ
√
2
π
∞
X
n
=0
(
−
1)
n
2
n
σ
2
n
n
!
E
η
2
n
1
E
X
2
n
+2
0
,
где
E
X
2
n
+2
0
и
Eη
2
n
1
вычисляются по формулам (9) и (10).
Пример.
Пусть
η
t
и
ε
t
имеют усеченное нормальное распреде-
ление,
ϕ
= 0
,
2
,
k
ω
= 3
,
ω
= 0
,
1
,
k
σ
= 3
,
σ
= 3
и в формулах (7),
(8) берутся первые шесть членов суммы. Тогда АОЭ оценки наимень-
ших модулей по отношению к оценке максимального правдоподобия
равна 0,637, при этом значение погрешности вычисления АОЭ, свя-
занной с заменой функции
f
ε
функцией
˜
f
ε
согласно (19), не превы-
шает 0,000113. Таким образом, для достижения одинаковой точности
оценки наименьших модулей необходимо примерно в 1,5 раза больше
наблюдений, чем при оценке максимального правдоподобия. Высо-
кая эффективность оценки максимального правдоподобия объясняет-
ся тем, что она по определению является наилучшей, если процесс
X
t
имеет нормальное распределение. Между тем истинное распреде-
ление
X
t
не сильно отличается от нормального, поскольку вследствие
небольших значений
ϕ
и
ω
распределение
X
t
согласно (3) практически
совпадает с распределением
ε
t
.
Усеченное распределение Тьюки.
История применения метода
максимального правдоподобия показала, что он достаточно чувствите-
лен даже к небольшим нарушениям в предположении о распределении
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
27