7 / 11
Предположим, что величины
ε
t
, как и величины
η
t
, тоже имеют
усеченное нормальное распределение:
f
(
x
) =
1
2Φ
0
(
k
σ
)
σ
√
2
π
e
−
x
2
/
(2
σ
2
)
,
если
|
x
| ≤
σk
σ
;
0
,
если
|
x
|
> σk
σ
,
(15)
где
σ
,
k
σ
— некоторые положительные постоянные. Тогда аналогично
(11), (12) имеем
E
ε
2
1
=
σ
2
1
−
k
σ
e
−
k
2
σ
/
2
√
2
π
Φ
0
(
k
σ
)
!
,
(16)
E
ε
2
n
1
≤
(
σk
σ
)
2
n
.
(17)
Пусть
|
ϕ
|
+
ωk
ω
<
1
.
(18)
Тогда
n
p
1
−
(
|
ϕ
|
+
ωk
ω
)
2
n
→
0
при
n
→ ∞
. Поэтому из (14) и призна-
ка Коши сходимости рядов следует, что ряд (7) абсолютно сходится,
если
σ
η
σk
σ
/σ
ε
<
1
, что равносильно (см. (11), (16)) условию
ω
2
k
2
σ
1
−
k
ω
e
−
k
2
ω
/
2
√
2
π
Φ
0
(
k
ω
)
!
1
−
k
σ
e
−
k
2
σ
/
2
√
2
π
Φ
0
(
k
σ
)
!
<
1
.
В частном случае, когда
k
ω
=
k
σ
, это выражение превращается в не-
равенство
ωk
ω
<
1
, которое поглощается условием (18).
Вычисление АОЭ.
Перейдем к изучению сходимости ряда (8),
где функция
f
ε
(
x
)
имеет вид (15). Функция
f
ε
(
x
)
вида (15) разрывна,
поэтому в (8) заменим ее функцией
˜
f
ε
(
x
) =
1
2Φ
0
(
k
σ
)
σ
√
2
π
e
−
x
2
/
(2
σ
2
)
,
ряд Тейлора которой сходится на всей числовой оси. В этом случае
f
ε
(
x
)
−
˜
f
ε
(
x
) =
0
,
если
|
x
| ≤
σk
σ
;
−
1
2Φ
0
(
k
σ
)
σ
√
2
π
e
−
x
2
/
(2
σ
2
)
,
если
|
x
|
> σk
σ
,
и для всех действительных
x
:
|
f
ε
(
x
)
−
˜
f
ε
(
x
)
| ≤
1
2Φ
0
(
k
σ
)
σ
√
2
π
e
−
k
2
σ
/
(2
σ
2
)
.
Поэтому
E(
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
))
−
E(
X
2
0
˜
f
ε
(
η
1
X
0
))
≤
E
X
2
0
2Φ
0
(
k
σ
)
σ
√
2
π
e
−
k
2
σ
/
(2
σ
2
)
→
0
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3