6 / 11
E
η
n
1
= 0
для нечетных значений
n
и
E
η
2
n
1
=
ωk
ω
Z
−
ωk
ω
x
2
n
1
2Φ
0
(
k
ω
)
ω
√
2
π
e
−
x
2
/
(2
ω
2
)
dx
=
=
(2
ω
2
)
n
2Φ
0
(
k
ω
)
√
π
Γ
n
+
1
2
−
Γ
n
+
1
2
,
k
2
ω
2
.
(10)
Здесь
Γ(
z
) =
∞
Z
0
t
z
−
1
e
−
t
dt
,
Γ(
a, z
) =
∞
R
z
t
a
−
1
e
−
t
dt
— гамма-функция и
неполная гамма-функция. В частности,
E
η
2
1
=
ωk
ω
Z
−
ωk
ω
x
2
1
2Φ
0
(
k
ω
)
ω
√
2
π
e
−
x
2
/
(2
ω
2
)
dx
=
=
ω
2
1
−
k
ω
e
−
k
2
ω
/
2
√
2
π
Φ
0
(
k
ω
)
!
→
ω
2
при
k
ω
→ ∞
.
(11)
Кроме того,
E
η
2
n
1
≤
ωk
ω
Z
−
ωk
ω
(
ωk
ω
)
2
n
1
2Φ
0
(
k
ω
)
ω
√
2
π
e
−
x
2
/
(2
ω
2
)
dx
= (
ωk
ω
)
2
n
(12)
и
|
E(
ϕ
+
η
1
)
n
|
6
n
X
k
=0
C
k
n
E
η
k
1
|
ϕ
|
n
−
k
6
(
|
ϕ
|
+
ωk
ω
)
n
.
(13)
Из неравенств (12) и (13), представления (3) и независимости
(
η
t
, ε
t
)
,
t
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
, следует, что при
|
ϕ
|
+
ωk
ω
<
1
E
X
n
0
=
∞
X
k
=0
E
δ
n
0
k
E
ε
n
−
k
=
= E
ε
n
1
∞
X
k
=0
E
δ
n
0
k
}
E
ε
n
1
∞
X
k
=0
(
|
ϕ
|
+
ωk
ω
)
nk
=
E
ε
n
1
1
−
(
|
ϕ
|
+
ωk
ω
)
n
.
(14)
Найдем условия сходимости рядов (7) и (8). Если величины
ε
t
являются нормальными, то
E
ε
2
n
1
= (2
n
−
1)!!
σ
2
n
и из (14) сле-
дует, что
E
X
2
n
0
∼
Eε
2
n
1
= (2
n
−
1)!!
σ
2
n
ε
при
n
→ ∞
. Поэтому
σ
2
n
η
σ
−
2
n
ε
E
X
2
n
0
∼
σ
2
n
η
(2
n
−
1)!!
6
→
0
при
n
→ ∞
и ряд (7) расходится.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
25