5 / 11
f
ε
(
x
)
в нуле в ряд Тейлора и независимости величины
η
1
от
X
0
имеем
E
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
) =
∞
X
n
=0
f
(
n
)
ε
(0)
n
!
E
η
n
1
E
X
n
+2
0
.
(8)
Таким образом, вычисление АОЭ свелось к определению моментов
E
X
n
0
случайной величины
X
0
и выяснения условий сходимости рядов
(7) и (8).
Поскольку процесс
X
t
предполагается стационарным, его моменты
E
X
n
t
не зависят от
t
и совпадают с
E
X
n
0
. С учетом этого, а также пред-
положения о независимости и одинаковой распределенности
(
η
t
, ε
t
)
возведем обе части (2) в
n
-ю степень, применим операцию матема-
тического ожидания и запишем выражение
E
X
n
t
= E((
ϕ
+
η
t
)
X
t
−
1
+
+
ε
t
)
n
=
n
P
k
=0
C
k
n
E
X
k
t
−
1
E
ε
n
−
k
t
E(
ϕ
+
η
t
)
k
,
из которого вытекает рекур-
рентное соотношение для моментов
E(
X
n
0
)
:
E
X
n
0
=
1
1
−
E(
ϕ
+
η
1
)
n
n
−
1
X
k
=0
C
k
n
E
X
k
0
E
ε
n
−
k
1
E(
ϕ
+
η
1
)
k
.
(9)
Равенство (9) накладывает ограничения на функции
f
η
и
f
ε
, в частно-
сти случайные величины
η
t
,
ε
t
не могут быть нормальными. Действи-
тельно, если величины
η
1
и
ε
1
имеют нормальное распределение, то
для любого натурального
n
:
E
η
2
n
1
= (
n
−
1)!!
σ
2
n
η
,
E
η
2
n
−
1
1
= E
ε
2
n
−
1
1
= 0
,
где
(
n
−
1)!! = 1
∙
3
∙
5
∙ ∙ ∙
(
n
−
1)
. Поэтому
E
η
2
n
1
→ ∞
при
n
→ ∞
и
1
−
E(
ϕ
+
η
1
)
2
n
<
0
при
ϕ >
0
и достаточно больших значениях
n
, в то
время как сумма в правой части (9) остается всегда положительной.
Таким образом,
E
X
2
n
0
<
0
для достаточно больших значений
n
, что
невозможно.
Усеченное нормальное распределение.
Преодолеть эту трудность
можно, предположив, что величины
η
t
имеют усеченное нормальное
распределение:
f
η
(
x
) =
1
2Φ
0
(
k
ω
)
ω
√
2
π
e
−
x
2
/
(2
ω
2
)
,
если
|
x
| ≤
ωk
ω
;
0
,
если
|
x
|
> ωk
ω
,
где
Φ
0
(
x
) =
x
Z
0
1
√
2
π
e
−
t
2
/
2
dt
— функция Лапласа;
ω
и
k
ω
— некоторые
положительные постоянные. В частности, при
k
ω
= 3
имеем аппрокси-
мацию нормального распределения с помощью “правила трех сигм”,
а увеличивая постоянную
k
ω
, можно сколь угодно точно аппроксими-
ровать нормальное распределение усеченным нормальным распреде-
лением, что достаточно для практических приложений. В этом случае
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3