4 / 11
ее отклонение от оцениваемого параметра. Если оценка состоятельна,
то в скалярном случае за меру качества оценки разумно принять ее
асимптотическую дисперсию. Поэтому для сравнения оценки макси-
мального правдоподобия и оценки наименьших модулей необходимо
выяснить, какая из двух величин (4) или (5) меньше. Следователь-
но, мерой сравнения качества двух состоятельных асимптотически
нормальных оценок естественно считать АОЭ, которая определяется
как обратное отношение их асимптотических дисперсий. В частности,
АОЭ
e
(
f
η
, f
ε
)
оценки наименьших модулей по отношению к оценке
максимального правдоподобия равна
e
(
f
η
, f
ε
) =
E
X
2
0
σ
2
η
X
2
0
+
σ
2
ε
−
1
E(
X
2
0
)
4E
2
[
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
)]
=
4E
2
[
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
)]
E(
X
2
0
)E
X
2
0
σ
2
η
X
2
0
+
σ
2
ε
.
(6)
В соответствии с определением, если
e
(
f
η
, f
ε
)
>
1
, то оценка наи-
меньших модулей лучше (точнее) оценки максимального правдопо-
добия, а если
e
(
f
η
, f
ε
)
<
1
, то оценка максимального правдоподобия
лучше оценки наименьших модулей.
Отметим, что АОЭ
e
(
f
η
, f
ε
)
зависит от распределения вероятно-
сти случайных величин
η
1
и
ε
1
и одна из этих оценок не будет луч-
ше другой при всех функциях
f
η
, f
ε
. Поэтому необходимо вычислить
АОЭ
e
(
f
η
, f
ε
)
для наиболее распространенных распределений. Однако
при определении математических ожиданий в АОЭ
e
(
f
η
, f
ε
)
возника-
ет трудность, связанная с неизвестностью распределения вероятности
случайной величины
X
0
, поскольку она зависит от величин
η
t
и
ε
t
,
t
6
0
, достаточно сложным образом (см. (3)). В частности, из гауссо-
вости величин
η
t
и
ε
t
,
t
6
0
, не следует гауссовость величины
X
0
.
Представление АОЭ через моменты авторегрессионного про-
цесса.
Используя соотношение
1
/
(1
−
x
) =
∞
P
n
=0
x
n
,
|
x
|
<
1
,
получаем
X
2
0
σ
2
η
X
2
0
+
σ
2
ε
=
X
2
0
σ
2
ε
∞
X
n
=0
−
X
2
0
σ
2
η
σ
2
ε
n
и
E
X
2
0
σ
2
η
X
2
0
+
σ
2
ε
=
1
σ
2
ε
∞
X
n
=0
−
σ
2
η
σ
2
ε
n
E
X
2
n
+2
0
(7)
в предположении, что моменты
E(
X
2
n
+2
0
)
существуют для всех
n
и
ряд в правой части равенства (7) сходится. Предположим, что функ-
ция
f
ε
(
x
)
бесконечно дифференцируема. Тогда из разложения функции
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
23