3 / 11
обобщенный метод максимального правдоподобия и метод наимень-
ших модулей.
Обозначим через
F
t
σ
-алгебру, порожденную множеством случай-
ных величин
{
η
s
, ε
s
, s
6
t
}
. Обобщенный метод максимального прав-
доподобия заключается в построении и максимизации условной функ-
ции правдоподобия в предположении, что условное распределение
X
t
при условии
F
t
−
1
является нормальным. Согласно (1), условное ма-
тематическое ожидание и условная дисперсия
X
t
при условии
F
t
−
1
имеют вид
E(
X
t
|
F
t
−
1
) =
ϕX
t
−
1
,
D(
X
t
|
F
t
−
1
) =
σ
2
η
X
2
t
−
1
+
σ
2
ε
.
Поэто-
му, если бы вектор
(
η
t
, ε
t
)
являлся нормальным, то условная функция
правдоподобия имела бы вид
L
n
(
ϕ
) =
n
Y
i
=1
1
q
2
π
(
σ
2
η
X
2
i
−
1
+
σ
2
ε
)
exp
−
(
X
i
−
ϕX
i
−
1
)
2
2(
σ
2
η
X
2
i
−
1
+
σ
2
ε
)
.
Обобщенная оценка максимального правдоподобия
ˆ
ϕ
n
определяется
как точка максимума
L
n
(
ϕ
)
.
Обозначим
ln
+
(
x
) = max(ln(
x
)
,
0)
положительную часть логариф-
ма. Пусть в дополнение к перечисленным выше условиям справедливы
неравенства
E ln
+
|
ε
1
|
<
∞
,
E ln
+
|
ϕ
+
η
1
|
<
∞
,
−∞
<
E ln
|
ϕ
+
η
1
|
<
0
.
В работе [4] показано, что в этом случае оценки максимального прав-
доподобия являются состоятельными и асимптотически нормальными
оценками, т.е.
ˆ
ϕ
n
→
ϕ
по вероятности при
n
→ ∞
и последова-
тельность случайных величин
√
n
( ˆ
ϕ
n
−
ϕ
)
сходится при
n
→ ∞
по
распределению к нормальной случайной величине с нулевым матема-
тическим ожиданием и дисперсией
E
X
2
0
σ
2
η
X
2
0
+
σ
2
ε
−
1
.
(4)
Оценка наименьших модулей
˜
ϕ
n
параметра
ϕ
определяется как
точка минимума функции
L
n
(
ϕ
) =
n
P
i
=1
|
X
i
−
ϕX
i
−
1
|
.
Обозначим через
f
ε
,
f
η
плотности распределения вероятности
ε
1
и
η
1
соответственно.
Было установлено, что если
f
ε
,
f
η
— четные функции и выполнены
условия
E
η
1
= 0
,
D
η
1
=
σ
2
η
<
∞
,
E
ε
1
= 0
,
D
ε
1
=
σ
2
ε
<
∞
,
ϕ
2
+
+
σ
2
η
<
1
, то оценка
˜
ϕ
n
состоятельна, а последовательность случайных
величин
√
n
( ˜
ϕ
n
−
ϕ
)
при
n
→ ∞
асимптотически нормальна с нулевым
математическим ожиданием и дисперсией
E
X
2
0
4E
2
[
X
2
0
f
ε
(
η
1
X
0
)]
.
(5)
Асимптотическая относительная эффективность.
При наличии
нескольких оценок одного и того же параметра возникает задача срав-
нения их друг с другом. Очевидно, что оценка тем лучше, чем меньше
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3