Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений

6 / 10

А.Н. Морозов
62 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
Выражения (21)–(24) совпадают с формулами, полученными для случая
броуновского движения в равновесной среде в работах [5, 8].
2. Рассмотрим описание броуновского движения в случае, когда броунов-
ская частица находится в неравновесной среде, воздействие которой на нее име-
ет интенсивность
2 ,
S m T     (25)
где S  — производство энтропии при движении броуновской частицы в нерав-
новесной среде, а ядро преобразования  
2 , G   можно представить в виде
 
  2
1
, . G   
   
Тогда выражение для  , G t  принимает форму [10]
     
 
       

   
         
     
exp
, exp erfi ,
t t
G t d t t (26)
где erfi ( ) erf ( ). x i ix  
Если подставить выражения (25) и (26) в формулу (13), то для L-мерной ха-
рактеристической функции  
1 1 , ..., ; , ...,
L L L g t t   процесса   Z t при воздей-
ствии на броуновскую частицу винеровского процесса имеем
     
  min ,
1 1
, 1 0
, ..., ; , ..., exp exp 2
l k t t
L S
L L L l k l k
l k
m T
g t t t t

  
          
  
 
        
        

erfi erfi .
l k t t d (27)
Аналогично при подстановке выражений (25) и (26) в формулу (14), описываю-
щую воздействие пуассоновского процесса, получим
 
1 1 , ..., ; , ...,
L L L g t t   
       
  
      
                 
     
  
1 1
exp 2 exp erfi 1 .
l
l
t L L
S k k k
l k l t
m T g t t d (28)
При 1 L  выражения (27) и (28) переходят в формулы для одномерных ха-
рактеристических функций винеровского и пуассоновского процессов:
         
2 2
1
0
; exp exp 2 erfi ;
t
S m T
g t t t d    
           
 
  

         
1
0
; exp 2 exp erfi 1 .
t
S g t m T g t t d
      
                  
     
