Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений

2 / 10

А.Н. Морозов
58 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
Одномерная характеристическая функция  
1 ; g t процесса   Z t имеет
вид [5, 8]
     
1
0
; exp , ; .
t
g t G t d  
      
 
 
 (2)
Здесь
       
1 , ; ln , ; ; G t h G t 
       

(3)
         
1 , ; exp , . h G t i G t W        (4)
Если процесс   W t является винеровским с интенсивностью  
В t  и опи-
сывается одномерной характеристической функцией
    2
1 В
1
; exp ,
2
h t t t  
     
 
(5)
то выражение для одномерной характеристической функции  
1 ; g t процесса
  Z t принимает форму
     
2 2
1 В
0
1
; exp , .
2
t
g t G t d  
       
 
 
 (6)
Если процесс   W t — пуассоновский с интенсивностью  
П t  и описывается
одномерной характеристической функцией
             
1 П ; exp 1 , h t t g t (7)
где   g  — характеристическая функция скачков пуассоновского процесса, то
выражение для одномерной характеристической функции  
1 ; g t процесса
 
Z t принимает вид
         
1 П
0
; exp , 1 .
t
g t g G t d  
       
 
 
 (8)
В более общем случае для нахождения L-мерной характеристической функ-
ции  
1 1 , ..., ; , ...,
L L L g t t   процесса   Z t необходимо использовать выражение
[5, 8]
   
1
1 1
1
, ..., ; , ..., exp , ; .
l
l
t L L
L L L k k
l k l t
g t t G t d
  
     
             
     
   (9)
Здесь
   
1 , ; ln , ; ;
L L
k k k k
k l k l
G t h G t
 
        
       
       
        
  (10)