Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений

4 / 10

А.Н. Морозов
60 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
то рассматриваемая задача описания броуновского движения сведется к реше-
нию системы линейных интегральных уравнений (15), (16).
Для нахождения характеристических функций процесса   Z t проведем сле-
дующее преобразование системы линейных интегральных уравнений (15), (16):
       
       
     
1 2
0 0
1 2
0 0
1 2
0
, ,
1 , ,
, , ,
t
t t
t t
Z t G t G dW d
G t G dW d
G t G d dW


 
      
 
 
 
         
 
 
 
     
 
 
 
 
 
где   1    — единичная функция.
Следовательно, систему уравнений (15), (16) можно свести к линейному ин-
тегральному уравнению (1), в которое необходимо подставлять ядро преобразо-
вания  , G t  в виде
     
1 2 , , , .
t
G t G t G d

      
Таким образом, при нахождении характеристических функций процесса   , Z t
описываемого системой линейных интегральных уравнений (15), (16), могут
быть использованы выражения (2)–(4) (для частных случаев винеровского и
пуассоновского процессов — (6) и (8)) и (9)–(11) (для частных случаев указан-
ных процессов — (13) и (14)).
Предложенный метод позволяет рассчитать характеристические функции
процесса  , Z t описываемого системой линейных интегральных уравнений,
состоящей из любого количества таких уравнений. Например, в случае системы
из трех линейных интегральных уравнений
     
1
0
, ;
t
Z t G t X d     
     
2
0
, ; X G Y d

     
     
3
0
, , Y G dW

     
где  
1 , , G t   
2 , , G    
3 , G   — непрерывные функции переменных  ,  и
;  она сводится к линейному интегральному уравнению (1), ядро преобразова-
ния  , G t  которого имеет вид
       
1 2 3 , , , , .
t
G t G t G G d d

 
 
          
 
 