Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5

УДК 536.75

DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-57-66

МЕТОД ОПИСАНИЯ НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ, ЗАДАВАЕМЫХ

СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

А.Н. Морозов

amor@bmstu.ru

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Ключевые слова

Предложен метод нахождения характеристических

функций немарковского случайного процесса при его

описании системой линейных интегральных уравне-

ний. Показано, что в этом случае решение задачи мо-

жет быть найдено с помощью ранее разработанного

метода нахождения характеристических функций про-

цесса, описываемого одним линейным интегральным

уравнением. Разработанный метод применен для опи-

сания броуновского движения в равновесной и нерав-

новесной средах. Рассчитана спектральная плотность

флуктуаций импульса броуновской частицы в нерав-

новесной среде и установлено, что в низкочастотной

части спектра она представляет собой фликкер-шум.

Показано, что спектральная плотность флуктуаций

импульса броуновской частицы в неравновесной среде

линейно зависит от производства энтропии

Броуновское движение, характери-

стическая функция, немарковский

процесс, неравновесное состояние,

производство энтропии, фликкер-

шум

Поступила в редакцию 30.01.2017

©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Описание броуновского движения в неравновесных средах может быть выпол-

нено с помощью уравнения Ланжевена [1], в котором внешние случайные воз-

действия частиц среды на броуновскую частицу описываются случайным про-

цессом, отличающимся от белого шума [2, 3]. В этом случае становится невоз-

можным использование метода стохастических дифференциальных уравнений

для нахождения характеристических функций (функций распределения) флук-

туаций импульса броуновской частицы [4, 5]. Это связано с тем, что броунов-

ское движение становится немарковским случайным процессом [6, 7].

Метод нахождения характеристических функций немарковского случайно-

го процесса

 

Z t

описывающегося с помощью линейного интегрального пре-

образования, предложен и обоснован в работах [5, 8]:

 

Z t

G t dW







(1)

где

 

G t



— непрерывная функция переменной

;



 



— процесс с неза-

висимыми приращениями. Полагается, что интеграл (1) представляет собой ин-

теграл Ито [4, 9].