Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений

5 / 10

Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5 61
Аналогично можно найти ядро преобразования  , G t  для системы из N
линейных интегральных уравнений.
Рассмотрим применение полученных выражений для нахождения характе-
ристических функций флуктуаций импульса броуновской частицы в равновес-
ной и неравновесной средах.
1. Пусть   Z t описывает импульс броуновской частицы в равновесной
среде при воздействии на нее случайного -коррелированного процесса. Тогда
его интенсивность В  можно представить как [5]
В 2 , mkT    (19)
где m — масса броуновской частицы; k — постоянная Больцмана; T — темпе-
ратура среды, а ядра преобразований  
1 , G t  и  
2 , G   имеют соответственно
вид (18) и
   
2 , . G      
В этом случае формула для  , G t  принимает вид
            , exp exp .
t
G t t d t

               (20)
Подстановка выражений (19) и (20) в формулу (13) дает формулу для L-мерной
характеристической функции  
1 1 , ..., ; , ...,
L L L g t t   процесса  
Z t при воздей-
ствии на броуновскую частицу винеровского процесса
 
1 1 , ..., ; , ...,
L L L g t t   
         
, 1
exp exp exp .
2
L
l k l k l k
l k
mkT t t t t

 
          
 
 (21)
Аналогичное выражение при воздействии пуассоновского процесса (см. (14))
имеет вид
 
1 1 , ..., ; , ...,
L L L g t t   
   
1 1
exp 2 exp 1 .
l
l
t L L
k k
l k l t
mkT g t d
  
     
       
     
     
   (22)
При 1 L  получаем выражения для одномерных характеристических функ-
ций в случае воздействия винеровского и пуассоновского процессов:
     
2
1 ; exp 1 exp 2 ;
2
mkT
g t t  
       
 
(23)
         
1
0
; exp 2 exp 1 .
t
g t mkT g t d  
        
 
 
 (24)