3 / 10
Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
59
1
,
;
exp
,
.
L
L
k k
k k
k l
k l
h
G t
i
G t
W
(11)
При нахождении интеграла в выражении (9) необходимо учитывать условие
,
0.
k
k
t
G t
(12)
Формулы (2)–(4) являются частными случаями выражений (9)–(11) при
1.
L
Если процесс
W t
является винеровским, то
min ,
1
1
В
,
1
0
1
, ...,
; , ...,
exp
,
,
,
2
l k
t t
L
L
L
L
l k
l
k
l k
g
t
t
G t
G t
d
(13)
а если — пуассоновским, то
1
1
1
П
1
, ...,
; , ...,
exp
,
1
.
l
l
t L
L
L
L
L
k
k
l
k l
t
g
t
t
g
G t
d
(14)
Проведем разработку метода нахождения характеристических функций
немарковского случайного процесса
Z t
в случае, если для его описания тре-
буется использование системы линейных интегральных уравнений:
1
0
,
;
t
Z t
G t
X d
(15)
2
0
,
,
X G dW
(16)
где
1
, ,
G t
2
,
G
— непрерывные функции переменных
и
.
Здесь так
же, как и для интеграла (1), полагается, что интегралы (15) и (16) представляют
собой интегралы Ито.
К системе линейных интегральных уравнений (15), (16) может быть сведена
задача описания броуновского движения при воздействии на частицу случайно-
го процесса, не являющегося процессом с независимыми приращениями. В этом
случае броуновское движение описывается уравнением следующего вида:
.
dZ t
Z t X t
dt
(17)
Здесь
— коэффициент вязкого трения;
X t
— случайный процесс, который
может быть получен из процесса с независимыми приращениями
W t
с по-
мощью интегрального уравнения (16). Если решение уравнения (17) предста-
вить в интегральной форме (15) с ядром
1
,
exp
,
G t
t
(18)