8 / 12
Знаковые критерии проверки гипотезы о порядке уравнения в модели скользящего среднего
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
11
если
2
2
0
1 /2
( )> ,
n
T
где
2
1 /2
— квантиль
2
-распределения уровня 1 / 2
с од-
ной степенью свободы. В связи с этим при альтернативной гипотезе
1
H
статистика
( )
n
T
имеет нецентральное
2
-распределение с параметром нецентральности
2
.
K
Следовательно, асимптотическая относительная эффективность (АОЭ) знакового
критерия относительно классического критерия, определяемая как отношение па-
раметров нецентральности, равна
2
1
= 4 (0)E .
e
f
Вычислим АОЭ
e
для различных распределений обновляющего процесса
.
t
Если процесс
t
имеет стандартное нормальное распределение плотностью
2
/2
1
( ) =
,
2
x
f x
e
то эффективность знакового критерия низка, поскольку
2
= 4 / .
e
Другими словами, знаковому критерию необходимо в
2
/ 4 2, 4674
раз больше наблюдений для достижения выводов той же надежности, которые
дает классический критерий. Если процесс
t
имеет двойное экспоненциальное
распределение плотностью
| |
( ) = (1/ 2)
x
f x
e
, то
=1,
e
что свидетельствует об
одинаковой эффективности двух критериев.
Рассмотрим типичную на практике ситуацию, когда процесс
t
в большин-
стве своем представляют стандартные нормальные величины, однако с неболь-
шой вероятностью
среди них попадаются нормальные случайные величины с
нулевым средним и большей дисперсией
2
>1.
Другими словами, пусть про-
цесс
t
имеет загрязненное нормальное распределение (распределение Тьюки),
плотность распределения вероятности которого имеет вид
2
2
2
/2
/(2 )
1
1
( ) = (1 )
.
2
2
x
x
f x
e
e
Тогда
2
2
2 2
4(
) (1
)
=
.
e
Значение АОЭ может быть сколь угодно большим, если при
>0
и
>0
доля загрязнений
стремится к единице или величина загрязнений
стремит-
ся к бесконечности. Например,
= 2,1365
e
при
= 0, 2
и
=10.
Выводы.
Определен знаковый критерий проверки гипотезы о порядке
уравнения скользящего среднего. Установлено, что асимптотическое распреде-
ление статистики критерия является центральным
2
-распределением при
основной гипотезе и нецентральным
2
-распределением при альтернативной
гипотезе. С помощью асимптотического распределения при альтернативной
гипотезе можно находить асимптотическую относительную эффективность по-
строенного знакового критерия по отношению к уже известным критериям.
Рассмотрен пример вычисления асимптотической относительной эффективно-
сти построенного знакового критерия по отношению к классическому крите-