2 / 12
Знаковые критерии проверки гипотезы о порядке уравнения в модели скользящего среднего
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
5
распределения вероятности наблюдаемого случайного процесса от гауссов-
ского [6–9]. Наиболее распространены из робастных методов оценивания ко-
эффициентов уравнения ARMA-процесса ранговые методы [10, 11], метод
наименьших модулей [12], знаковые методы [13, 14] и методы, обобщающие ме-
тод максимального правдоподобия [15].
Другая важная задача теории ARMA-процессов — задача определения по-
рядка соответствующего разностного уравнения. Для гауссовских процессов эта
задача была решена в работе [16]. Однако построенные в указанной работе кри-
терии имеют низкую эффективность при нарушении предположения о гауссо-
вости обновляющего процесса. Критерии, более устойчивые к предположению
о нарушении гауссовости, были предложены в работе [17] и основываются на
рангах остатков наблюдений. В настоящей работе для процесса скользящего
среднего построен знаковый критерий проверки гипотезы о порядке разностно-
го уравнения. Показано, что при засорении обновляющего процесса гауссов-
скими выбросами эффективность этого критерия может быть сколь угодно
большой по сравнению с традиционным критерием, основанным на выбороч-
ном коэффициенте корреляции.
Постановка задачи.
Рассмотрим устойчивую модель скользящего среднего
1 1
=
,
= 0, 1, 2, ,
i
i
i
q i q
u
i
(1)
где
1
, ,
n
u u
— наблюдения;
i
— независимые одинаково распределенные
случайные величины с неизвестной плотностью распределения вероятности
( );
f x
1
= ( , ,
)
q
— неизвестный вектор параметров. Устойчивость означа-
ет, что корни характеристического уравнения
0
=0
( ) =
= 0,
=1,
q
q j
j
j
M z
z
(2)
лежат внутри единичного круга. Предположим, что на функцию распределения
( )
F x
случайных величин
i
наложены следующие условия:
1
1
1
(0) =1/ 2,
E = 0,
E| | < ,
0< 1.
r
F
r
(3)
Проверим гипотезу
0
H
о том, что наблюдения
1
, ,
n
u u
описываются схе-
мой (1), в которой
0
= ,
j
j
=1, , ,
j
q
где
0
0
1
, ,
q
— неизвестные коэффици-
енты. Альтернативная гипотеза будет заключаться в том, что наблюдения
1
, ,
n
u u
также описываются схемой
1 1
=
,
= 0, 1, 2, ,
i
i
i
m i m
u
i
(4)
где
> ,
m q
0
0
0
1
=
, =1, , ,
= = = 0;
j
j
m
q
j
K
j
m
n
1
, ,
m
K K
— некоторые
постоянные.