6 / 12
Знаковые критерии проверки гипотезы о порядке уравнения в модели скользящего среднего
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
9
Величины
,
t
=1, 2, ,
t
в любом конечном наборе совместно асимптоти-
чески при
n
нормальны со средним 0 и дисперсией 1, а также независимы.
Однако в силу (8) для величин
ˆ( )
t
это неверно, их распределение и при гипо-
тезе
0
H
зависит от параметров
1
, ,
q
и оценок
1
ˆ
ˆ , ,
.
q
Чтобы избежать
этого затруднения, введем величины
0
0
0
1 1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ = ( )
( )
( ),
= 1, ,
t
t
q t q
t
c
t q
и
0
0
0
1 1
=
,
= 1,
t
t
q t q
t
c
t q
Согласно (8), при гипотезе
0
H
и
n
для всех
= 1,
t q
имеем
0 0
0
0
1
=1
=0
ˆ
ˆ
= 4 (0)E
(1) = (1),
,
q
q
t
t
j
t i j
p
p
i
j
j
i
c c
f
n
a o
o
n
(9)
так как в силу определения величин
,
k
a
> 0,
k
0
=0
= 0
q
t i j
i
i
a
при любых
=1, ,
j
q
и = 1,
t q
Очевидно, что величины
0
,
t
c
= 1, , ,
t q
m
совместно асимптотически при
n
нормальны с нулевым средним и ковариационной матрицей
| |
0 0
| |
=0
0,
|
|> ;
=
, |
| .
q t s
ts
j j t s
j
t s q
R
t s q
(10)
Из (9) следует, что при гипотезе
0
H
величины
0
ˆ ,
t
c
=1, , ,
t
m
имеют такое
же асимптотическое распределение.
Заменяя неизвестные
0
0
1
, ,
q
-состоятельными
n
оценками
1
ˆ
ˆ , ,
,
q
получаем статистики
1 1
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ = ( )
( )
( ),
= 1, , ,
t
t
t
q t q
c
t q
m
которые при гипотезе
0
H
совместно асимптотически при
n
нормальны
с нулевым средним и ковариационной матрицей (10).
При гипотезе
1
H
в силу теоремы 1 запишем
1
0 0
0
1
= 1 =0
4 (0)E
(1),
= 1, , ;
ˆ
= 4 (0)E
(1) =
(1),
= 1,
q
m
t
p
j
t i j
p
t
t
i
p
j q
i
f
K o
t q
m
c c
f
K a
o
o
t q
Аналогично предыдущему случаю получаем, что при гипотезе
1
H
величины
ˆ ,
t
c
= 1, , ,
t q
m
совместно асимптотически при
n
нормальны со сред-
ними