Знаковые критерии проверки гипотезы о порядке уравнения в модели скользящего среднего

7 / 12

В.Б. Горяинов, Е.Р. Горяинова
10 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
1 4 (0)E , = 1, , ;
=
0, = 1,
t
t
f K t q m
t q
   
 




и ковариациями (10).
Введем вектор т
1 ˆ ˆ ˆ =( , , ) .q m C c c
  Пусть ˆ ˆ=( ),ts R R где ˆ
R получается заменой в
R неизвестных 0 0
1 , , q   оценками 1 ˆ ˆ , , .
q   Статистикой критерия для про-
верки гипотезы 0 H возьмем статистику т 1 ˆ ˆ ˆ .
C R C Таким образом, можно сфор-
мулировать следующую теорему.
Теорема 2. Если выполнены условия (3), то при гипотезе 0 H статистика
т 1 ˆ ˆ ˆ
C R C асимптотически при n  распределена как 2  с m q степенями
свободы, а при гипотезе 1 H как нецентральный 2  с m q степенями свободы
и параметром нецентральности т 1
1 1 ( , , ) ( , , ).
q m q m R 
       
Согласно теореме 2, проверить гипотезу 0 H против альтернативной
гипотезы 1 H можно с помощью статистики т 1 ˆ ˆ ˆ ,
C R C отклоняя гипотезу 0 H в
пользу гипотезы 1 H на уровне значимости ,  если т 1 2
1 ˆ ˆ ˆ > ( ), C R C m q
   где
2
1 ( ) m q
   — квантиль 2-распределения  с m q степенями свободы. Кроме
того, знание распределения статистики т 1 ˆ ˆ ˆ
C R C при альтернативной гипотезе
1 H позволяет сравнивать эффективность этого критерия с другими критерия-
ми, как это видно из приведенного ниже примера.
Пример. Сравним эффективность построенного знакового критерия с
классическим критерием, основанным на выборочном коэффициенте корреля-
ции. Пусть для простоты = 0, q =1, m т. е. гипотеза 0 H состоит в том, что k u —
последовательность типа белого шума, а при альтернативной гипотезе 1 H про-
цесс k u подчиняется уравнению скользящего среднего первого порядка
1 = , = 0, 1, 2,
i i i
K ui
n       
Если k u удовлетворяет уравнению 1 = , = 0, 1, 2, ,
i i i u i
       то вы-
борочный коэффициент корреляции
1
=2
2
=2
=
n
k k
k
n n
k
k
u u
r
u
 

асимптотически нормален с математическим ожиданием 2 =
1



и дисперсией
2 2 4 =1 3 4 . w     Обозначим 1 ( )= ( ).
n n T nw r   Статистика ( )
n T  имеет
стандартное нормальное распределение. Классический критерий отклоняет гипоте-
зу 0 =   в пользу альтернативной гипотезы 0    на уровне значимости , 