5 / 11
При таком нагружении тонкостенной круговой цилиндрической
оболочки в ней возникают в окружном (тангенциальном) направле-
нии напряжение
σ
0
t
=
−
p
(
D
−
h
)
/
(2
h
)
и деформация
ε
0
t
=
σ
0
t
E
=
−
p
D
−
h
2
Eh
.
(10)
Деформация (10) определяет относительное уменьшение диаметра
оболочки, эквивалентное уменьшению диаметра стержня. Таким обра-
зом, из равенства правых частей соотношений (9) и (10) получим
S
11
+
S
12
=
1
−
η
2
ηE
.
(11)
С учетом равенства (7) из формул (8) и (11) следует
S
11
=
S
22
=
1
−
η
4
ηE
+
1
/
16
(1
−
η
)
2
ημ
(12)
и
S
12
=
S
21
=
1
−
η
4
ηE
−
1
/
16
(1
−
η
)
2
ημ
.
(13)
Приложение касательных напряжений к основаниям стержня
и оболочки.
Для нахождения коэффициентов податливости
S
44
=
S
55
ОУНТ определено напряженно-деформированное состояние участков
стержня и оболочки между двумя поперечными сечениями, в каждом
из которых заданы противоположно направленные перерезывающие
силы. В прямолинейном стержне с круглым поперечным сечением
диаметром
D
двумя поперечными сечениями выделен участок дли-
ной
Δ
L
, геометрически представляющий собой цилиндр высотой
Δ
L
.
Введена прямоугольная декартова система координат
Ox
1
x
2
x
3
с нача-
лом в центре нижнего основания цилиндра и осью
Ox
3
, направлен-
ной перпендикулярно этому основанию. Нижнее основание цилиндра
жестко закреплено, а к верхнему основанию приложены касательные
напряжения
τ
31
, направленные вдоль оси
Ox
1
(часть
а
рисунка).
Использовано предположение, что напряжения
τ
31
сдвигают все ча-
стицы, принадлежащие верхнему основанию, вдоль оси
Ox
1
на малое
расстояние
Δ
x
1
, а у всех образующих боковой поверхности цилин-
дра, в исходном состоянии параллельных оси
Ox
3
, возникает одина-
ковый наклон, определяемый углом
γ
= Δ
x
1
/
Δ
L
. Этот угол соот-
ветствует деформации сдвига стержня в плоскости
x
1
Ox
3
. Тогда для
материала стержня с учетом обобщенного закона Гука следует, что
C
44
=
C
55
=
τ
31
/γ
. В сплошном стержне при однородной деформации
сдвига
γ
для касательных напряжений в плоскости верхнего основания
τ
31
=
const, что соответствует перерезывающей силе
Q
=
π
D
2
4
τ
31
=
π
D
2
4
C
44
γ.
(14)
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1