3 / 11
свернутую из листа однослойного графена той же толщины. Тогда
радиус срединной поверхности такой оболочки равен
R
= (
D
−
h
)
/
2
.
Условную толщину
h
однослойного графена обычно связывают с
диаметром атома углерода, принимая толщину равной 0,075 нм. Ось
ОУНТ обозначена через
Ox
3
, а координатные оси в плоскости, перпен-
дикулярной оси
Ox
3
, —
Ox
1
и
Ox
2
. В силу изотропии графена упругие
свойства ОУНТ в направлении осей
Ox
1
и
Ox
2
следует считать оди-
наковыми, т.е. плоскость, перпендикулярная оси
Ox
3
, должна быть
плоскостью изотропии. Таким образом, ОУНТ одновременно можно
считать и круговой цилиндрической оболочкой, и прямолинейным
круглым стержнем диаметром
D
, который обладает свойством транс-
версальной изотропии относительно продольной оси
Ox
3
. Для уста-
новления связи между перечисленными упругими характеристиками
графена и коэффициентами податливости такого стержня рассмотре-
ны следующие типы нагружения оболочки и стержня: растяжение
вдоль продольной оси; нагружение крутящим моментом; нагружение
давлением, равномерно распределенным по боковой поверхности;
приложение касательных напряжений к основаниям.
Растяжение стержня и оболочки.
При нагружении стержня си-
лой
P
, растягивающей его вдоль оси
Ox
3
, возникает деформация
ε
33
=
S
33
σ
33
, где
σ
33
= 4
P/
(
πD
2
)
— напряжение в поперечном сечении
стержня. Это напряжение связано с напряжением, которое возникает
в оболочке
σ
0
33
=
P
π
(
D
−
h
)
h
=
σ
33
4(1
−
η
)
η
,
(2)
где
η
=
h/D
. В изотропном графене такое напряжение в силу закона
Гука вызывает деформацию
ε
0
33
=
σ
0
33
/E
. Из равенства деформаций
ε
33
и
ε
0
33
с учетом соотношения (2) запишем
S
33
=
ε
33
σ
33
=
ε
0
33
/
4
σ
33
(1
−
η
)
η
=
1
/
4
E
(1
−
η
)
η
.
(3)
Согласно обобщенному закону Гука [19], сила
P
вызывает в стерж-
не деформации в направлениях осей
Ox
1
и
Ox
2
, для трансверсально
изотропного стержня эти деформации равны
ε
11
=
ε
22
=
S
13
σ
33
=
=
S
23
σ
33
. В поперечном сечении стержня возникает напряжение
σ
33
= 4
P/
(
πD
2
)
, связанное с напряжением, которое возникает в обо-
лочке, соотношением (2). В изотропном графене такое напряжение в
силу обобщенного закона Гука вызывает деформацию
ε
0
11
=
−
νσ
0
33
/E
.
Из равенства деформаций
ε
11
и
ε
0
11
с учетом соотношения (2) получим
S
13
=
S
23
=
ε
11
σ
33
=
−
νσ
0
33
/
4
Eσ
0
33
(1
−
η
)
η
=
−
ν/
4
E
(1
−
η
)
η
.
(4)
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1