9 / 12
=
C
3
C
1
vuut X
|
μ
mk
|≥
R
|
μ
mk
|
|
μ
mk
|
1
−
β
(
a
n
mk
)
2
+ (
b
n
mk
)
2
≤
C
4
R
1
−
β
2
p
J
R
.
Следовательно,
J
R
≤
C
2
4
R
1
−
β
→
0
при
R
→ ∞
, отсюда
lim
n
→∞
X
(
m,k
)
∈
M
μ
mk
(
a
n
mk
)
2
+ (
b
n
mk
)
2
=
= lim
n
→∞
(
Au
3
n
, u
3
n
) =
X
(
m,k
)
∈
M
μ
mk
a
0
mk
2
+
b
0
mk
2
.
Перейдем к пределу при
n
→ ∞
в (15) при фиксированном
w
∈
E
n
1
, n
1
∈
N
:
(
Au
2
, w
) + (
u
3
, Aw
) +
Z
Ω
hwdx dt
= 0
.
(19)
Докажем методом монотонности, что
h
=
g
(
x, t, u
)
. Для любого эле-
мента
v
∈
L
r
(Ω)
T
D
(
A
)
имеем
(
Av
2
−
Au
2
n
, v
2
−
u
2
n
) +
+
Z
Ω
(
g
(
x, t, v
)
−
g
(
x, t, u
n
)) (
v
−
u
n
)
dxdt
≥
0
.
(20)
Примем в (15)
w
=
u
n
. Тогда
lim
n
→∞
(
Au
2
n
, u
2
n
) +
Z
Ω
g
(
x, t, u
n
)
u
n
dxdt
=
=
−
X
(
m,k
)
∈
M
μ
mk
a
0
mk
2
+
b
0
mk
2
.
(21)
Подставим в (19)
w
=
u
n
и устремим
n
→ ∞
:
(
Au
2
, u
2
) +
+
Z
Ω
hu dx dt
=
−
X
(
m,k
)
∈
M
μ
mk
a
0
mk
2
+
b
0
mk
2
. Откуда из (21) полу-
чим
lim
n
→∞
(
Au
2
n
, u
2
n
) +
Z
Ω
g
(
x, t, u
n
)
u
n
dx dt
=
= (
Au
2
, u
2
) +
Z
Ω
hudxdt.
(22)
Перейдем в (20) к пределу при
n
→ ∞
:
(
Av
2
−
Au
2
, v
2
−
u
2
) +
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
11