11 / 12
α
(
u
−
v
)
2
≤
1
p
(
x
)
(
g
(
x, t, v
)
−
g
(
x, t, u
))(
u
−
v
)
≤
≤
β
(
u
−
v
)
2
∀
u, v
∈
R,
∀
(
x, t
)
∈
Ω
.
Заключение.
Согласно теоремам 1, 2 и замечанию, в случае сте-
пенного роста по
u
нелинейного слагаемого волновое уравнение мо-
жет иметь счетное число периодических решений, у которых
L
r
-норма
стремится к бесконечности, а если нелинейное слагаемое имеет по
u
не более чем линейный рост, то волновое уравнение может иметь
только одно периодическое решение.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Barby V.
,
Pavel N.H.
Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation
with
x
-dependent coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. 1997. Vol. 349. No. 5.
P. 2035–2048.
2.
Rabinowitz P.
Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple.
Math. 1978. Vol. 31. No. 1. P. 31–68.
3.
Bahri A.
,
Brezis H.
Periodic solutions of a nonlinear wave equation // Proc. Roy. Soc.
Edinburgh Sect. A. 1980. Vol. 85. P. 310–320.
4.
Brezis H.
,
Nirenberg L.
Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm.
Pure Aple. Math. 1978. Vol. 31. No. 1. P. 1–30.
5.
Плотников П.И.
Существование счетного множества периодических решений
задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравне-
ния // Матем. Сб. 1988. Т. 136 (178). № 4 (8). С. 546–560.
6.
Feireisl E.
On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with
a superlinear forcing term // Chechosl. Math. J. 1988. Vol. 38. No. 1. P. 78–87.
7.
Рудаков И.А.
Нелинейные колебания струны // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем.,
Мех. 1984. № 2. С. 9–13.
8.
Рудаков И.А.
Периодические решения нелинейного волнового уравнения с не-
постоянными коэффициентами // Матем. заметки. 2004. Т. 76. Вып. 3. С. 427–
438.
9.
Shuguan J.
Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with
x
-dependent
coefficients // Calc. Var. 2008. Vol. 32. P. 137–153.
10.
Рудаков И.А.
Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с
переменными коэффициентами // Матем. Сб. 2007. Т. 198. № 4 (8). С. 546–560.
11.
Кондратьев В.А.
,
Рудаков И.А.
О периодических решениях квазилинейного вол-
нового уравнения // Матем. заметки. 2009. Т. 85. Вып. 1. С. 36–53.
12.
Трикоми Ф.
Дифференциальные уравнения. М.: УРСС, 2003. 351 с.
13.
Рудаков И.А.
Периодические решения нелинейного волнового уравнения с од-
нородными граничными условиями // Известия РАН. Сер. Матем. 2006. № 1.
С. 1–10.
14.
Feirisl E.
On the existence of the multiplicity periodic solutions of rectangle thin
plate // Chechosl. Math. J. 1998. Vol. 37. No. 2. P. 334–341.
15.
Рудаков И.А.
О периодических по времени решениях квазилинейного волнового
уравнения // Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 226–232.
REFERENCES
[1] Barby V., Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation
with
x
-dependent coefficients.
Trans. Amer. Math. Soc
., 1997, vol. 349, no. 5,
pp. 2035–2048.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
13