8 / 12
Вычтем из полученного уравнения выражение (16) и запишем
−
γ
(
c
)
≥
Z
Ω
1
2
g
(
x, t, u
n
)
u
n
−
G
(
x, t, u
n
)
dx dt
≥ −
c.
Из (5), (6) выведем
δ
|
u
|
r
−
A
4
2
+
A
2
|
u
| −
A
8
≤
1
2
ug
(
x, t, u
n
)
−
−
G
(
x, t, u
n
)
≤
1
2
A
1
+
1
r
A
3
|
u
|
r
+
A
2
2
+
A
5
|
u
|
+
A
8
.
Здесь
δ
=
1
2
A
3
−
1
r
A
1
. Следовательно, существуют константы
C
1
,
C
2
>
0
такие, что
||
u
n
||
r
≤
C
2
;
||
u
n
||
r
r
+
C
2
||
u
n
||
r
+
C
2
≥
C
1
|
c
|
.
(17)
Поскольку
||
u
n
||
r
r
+ 1
≥ ||
u
n
||
r
, найдем
||
u
n
||
r
r
≥
C
1
|
c
| −
2
C
2
C
2
+ 1
.
(18)
I
2.
Переход к пределу при
n
→ ∞
.
Из (17) следует существова-
ние подпоследовательности, которую также обозначим
u
n
,
u
n
→
u
в пространстве
L
r
(Ω)
слабо,
g
(
x, t, u
n
)
→
h
в
L
q
(Ω)
слабо. Здесь
q
= (
r
−
1)
/r
. Докажем, что
u
— решение (обобщенное).
Пусть
u
n
=
u
1
n
+
u
2
n
+
u
3
n
,
u
=
u
1
+
u
2
+
u
3
;
u
k
, u
kn
∈
N
k
,
k
∈ {
1
,
2
,
3
}
. Тогда
u
kn
→
u
k
слабо в пространстве
L
2
(Ω)
,
k
∈ {
1
,
2
,
3
}
.
На пространстве
N
2
оператор
А
ограничен. Следовательно,
Au
2
n
→
Au
2
слабо в пространстве
L
2
(Ω)
. Действительно, для любого
ϕ
∈
L
2
(Ω)
имеем
(
Au
2
n
, ϕ
) = (
Au
2
n
, ϕ
2
) = (
u
2
n
, Aϕ
2
)
→
(
u
2
, Aϕ
2
) = (
Au
2
, ϕ
)
,
где
ϕ
2
— ортогональная проекция в пространстве
L
2
(Ω)
функции
ϕ
на
подпространство
N
2
.
Пусть
a
n
mk
, b
n
mk
, a
0
mk
, b
0
mk
— коэффициенты Фурье
u
n
и
u
. Обозначим
J
R
=
X
|
μ
mk
|≥
R
|
μ
mk
|
(
a
n
mk
)
2
+ (
b
n
mk
)
2
. Возьмем
R >
2
c
1
+
c
2
1
и
w
=
X
|
μ
mk
|≥
R
sgn
(
μ
mk
)
ϕ
m
(
x
)
a
n
mk
cos
a
b
kt
+
b
n
mk
sin
a
b
kt .
Подставим
w
в (15). Используя (12) и неравенство Гельдера, получим
J
R
=
−
Z
Ω
g
(
x, t, u
n
)
wdx dt
≤ ||
g
(
x, t, u
n
)
||
q
||
w
||
r
≤
C
3
C
1
||
w
||
β
=
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4