2 / 12
Введение.
Рассмотрим задачу о периодических решениях волно-
вого уравнения
p
(
x
)
u
tt
−
(
p
(
x
)
u
x
)
x
+
g
(
x, t, u
) = 0
,
0
< x < π, t
∈
R
;
(1)
u
(
x, t
+
T
) =
u
(
x, t
)
,
0
< x < π, t
∈
R
;
(2)
u
(0
, t
) =
u
(
π, t
) = 0
, t
∈
R.
(3)
Функция
p
(
x
)
удовлетворяет следующим условиям:
p
(
x
)
∈
C
2
[0
, π
]
, p
(
x
)
>
0
∀
x
∈
[0
, π
]
.
(4)
Уравнение более общего вида
ρ
(
z
)
u
tt
−
(
μ
(
z
)
u
z
)
z
+
h
(
z, t, u
) = 0
,
описывающее распространение сейсмических волн, приводится к
уравнению (1) с помощью замены переменной
x
=
z
Z
0
s
ρ
(
s
)
μ
(
s
)
ds
.
Здесь
ρ
(
z
)
— плотность породы;
μ
(
z
)
— коэффициент эластичности;
p
=
√
ρμ
— акустический импеданс [1].
Введем обозначения:
Ω = [0
, π
]
×
R
\
(
TZ
);
η
p
(
x
) =
1
2
p
00
p
−
1
4
p
0
p
2
;
B
=
π
Z
0
η
p
(
x
)
dx
;
Z
+
=
N
[
{
0
}
.
Задача о периодических решениях квазилинейного волнового урав-
нения с постоянными коэффициентами исследовалась во многих ра-
ботах, например, [2–7]. Существование периодических по време-
ни решений для волнового уравнения с переменными коэффици-
ентами в случае, когда функция
η
p
(
x
)
сохраняет постоянный знак
η
p
(
x
)
>
0
∀
x
∈
[0
, π
]
было доказано в работах [1, 8–10], для случая
η
p
(
x
)
<
0
∀
x
∈
[0
, π
]
— в работе [11]. В настоящей работе доказано
существование периодических по времени решений задачи (1)–(3) при
условии, когда функция
η
p
(
x
)
может изменять знак на отрезке
[0
, π
]
.
Квазилинейное волновое уравнение.
Предположим, что суще-
ствуют положительные константы
A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, r
такие, что при всех
(
x, t, u
)
∈
Ω
×
R
выполнено неравенство
A
3
|
u
|
r
−
1
−
A
4
≤ |
g
(
x, t, u
)
| ≤
A
1
|
u
|
r
−
1
−
A
2
,
(5)
где
r >
2
,
2
r
A
1
< A
3
≤
A
1
.
(6)
Будем искать периодические решения, для которых период времени
имеет вид
T
= 2
π
b
a
, a, b
∈
N,
НОД
(
a, b
) = 1
.
(7)
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4