4 / 12
из системы
Λ
. Определим оператор
A
0
:
L
2
(Ω)
→
L
2
(Ω)
, для ко-
торого
D
(
A
0
) =
D
и
A
0
ϕ
=
pϕ
tt
−
(
pϕ
x
)
x
∀
ϕ
∈
D
(
A
0
)
.
Пусть
A
0
ϕ
=
1
p
A
0
ϕ
∀
ϕ
∈
D
(
A
0
)
.
Обозначим
A
= (
A
0
)
∗
в пространстве
L
2
(Ω)
. Функции из системы
Λ
— собственные функции операторов
A
0
и
A
с собственными значениями
μ
nm
=
λ
2
n
−
a
b
m
2
,
n
∈
N
,
m
∈
Z
+
,
которым соответствуют собственные функции
T
m
ϕ
n
(
x
) cos ((
a/b
)
mt
)
,
n
∈
N, m
∈
Z
+
,
T
m
ϕ
n
(
x
) sin ((
a/b
)
mt
)
,
n, m
∈
N
. Здесь
T
m
=
1
.
√
T , m
= 0;
√
2
.
√
T , m
∈
N.
Обозначим
σ
(
A
) =
{
μ
nm
|
n
∈
N, m
∈
Z
+
}
.
С учетом представления (10) можно записать представление
μ
nm
=
1
b
2
(
nb
−
am
)(
nb
+
am
) +
B
π
+
α
n
, где
α
n
→
0
при
n
→ ∞
.
Откуда следует существование единственной предельной точки
B/π
у множества
σ
(
A
)
. При
B
6
= 0
обозначим через
n
0
такое натуральное
число, что
|
α
n
|
<
|
B
|
/
(2
π
)
при
n > n
0
.
Стандартно доказываются следующие свойства оператора
A
:
1) оператор
A
самосопряжен в пространстве
L
2
(Ω)
; 2)
R
(
A
)
зам-
кнут в пространстве
L
2
(Ω)
; 3)
L
2
(Ω) = Ker
A
⊕
R
(
A
)
; 4) при
B
6
= 0
пространство
Ker
A
конечномерно [1].
При
r >
1
норму в пространстве
L
r
(Ω)
определим равенством
||
u
||
r
=
Z
Ω
|
u
|
r
p
(
x
)
dx
1/
r
,
u
∈
L
r
(Ω)
.
Определение.
Обобщенным решением задачи
(1)
–
(3)
называ-
ется функция
u
∈
L
r
(Ω)
такая, что
Z
Ω
u
(
ϕ
tt
−
(
p
(
x
)
ϕ
0
x
)
0
x
)
dx dt
+
+
Z
Ω
g
(
x, t, u
)
ϕ dx dt
= 0
∀
ϕ
∈
D
.
Теорема 1.
Пусть выполнены условия
(4)
,
(7)
,
функция
g
непре-
рывна на
Ω
×
R, T
— периодична по
t
, удовлетворяет требованиям
(5)
,
(6)
и либо функция
g
не зависит от
t
, либо
g
(
x, t,
−
u
) =
−
g
(
x, t, u
)
при всех
(
x, t, u
)
∈
Ω
×
R
. Предположим также, что либо
B >
0
и
функция
g
не убывает по
u
при всех
(
x, t
)
∈
Ω
,
либо
B <
0
и функция
g
не возрастает по
u
при всех
(
x, t
)
∈
Ω
. Тогда для любого
d >
0
су-
ществует обобщенное решение
u
∈
L
r
(Ω)
задачи
(1)
–
(3)
такое, что
||
u
||
r
≥
d
.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4