Периодические колебания неоднородной струны с закрепленными концами

1 / 12

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.946
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СТРУНЫ
С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ∗
И.А. Рудаков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
Рассмотрена задача о периодических по времени решениях квазилинейного вол-
нового уравнения с коэффициентами общего вида, зависящими от перемен-
ной x. Доказано существование счетного числа периодических решений в случае
однородных граничных условий Дирихле на отрезке, если нелинейное слагаемое
имеет степенной рост. Доказательство проведено вариационным методом.
Периодические решения являются критическими точками функционала энер-
гии, существование которых доказывается с помощью метода Файрайсла. В
случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности
на бесконечности, приведены формулировка теоремы о существовании и регу-
ляризации по крайней мере одного периодического решения, а также условия,
при которых периодическое решение единственно. Доказательство теоремы
получено с использованием принципа Лере –Шаудера о неподвижной точке и
опирается на ранние работы автора настоящей статьи.
Ключевые слова: волновое уравнение, периодические решения, задача Штурма –
Лиувилля, критические точки функционала.
PERIODIC OSCILLATIONS OF AN UNHOMOGENEOUS STRING
WITH FIXED ENDS
I.А. Rudakov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
The paper considers the problem of time-periodic solutions to the quasi-linear wave
equation with x-dependent coefficients of a general form. The author proves the
existence of a denumerable number of periodic solutions, if there are homogeneous
Dirichlet boundary conditions on the segment when the nonlinear term features a
power-law growth. The proof is based on a variational method. Periodic solutions
are energy functional critical points, the existence of which is proved with the help
of the Feireisle method. The author formulates a theorem about the existence and
the regularization of at least one periodic solution in the case when the nonlinear
term satisfies a non-resonance condition at infinity. The author also describes the
conditions under which the periodic solution is unique. The proof of the theorem
is obtained using the Lera – Schauder principle of a fixed point and it is based on
the author’s previous research. Keywords: wave equation, periodic solution, Sturm –
Liouville problem, functional critical point.
Keywords: wave equation, periodic solutions, Sturm – Liouville problem, functional
critical points.
∗Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки
РФ № 1.2640.2014.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4 3