5 / 12
J
Рассмотрим случай
B >
0
(случай
B <
0
аналогичен). Обозна-
чим
M
=
{
(
n, m
)
∈
N
×
Z
+
|
μ
nm
6
= 0
, bn
6
=
am
}
[
[
(
n, m
)
∈
N
×
Z
+
|
μ
nm
6
= 0
, m
=
b
a
n,
n
a
∈
N, n
≤
n
0
;
Λ
1
=
(r
2
T
ϕ
n
(
x
) cos
nt,
r
2
T
ϕ
n
(
x
) sin
nt n,
n
a
∈
N, n > n
0
)
;
Λ
2
=
1
√
T
ϕ
n
(
x
)
|
n
∈
N
[
[ (r
2
T
ϕ
n
(
x
) cos
a
b
mt,
r
2
T
ϕ
n
(
x
) sin
a
b
mt
(
n, m
)
∈
M, m
6
= 0
)
;
N
1
= Ker (
A
)
, N
2
=
L
(Λ
1
)
— замыкание в пространстве
L
2
(Ω)
конеч-
ных линейных комбинаций функций из множества
Λ
1
,
N
3
=
L
(Λ
2
)
.
Отметим, что на
N
2
собственные значения оператора
A
равны
B/π
+
+
α
n
и принадлежат к интервалу
(
B/
(2
π
)
,
3
B/
(2
π
))
.
Введем конечномерное подпространство
E
n
=
N
1
⊕
N
2
n
⊕
N
3
n
,
где
2
n > n
0
и
N
2
n
, N
3
n
— линейные оболочки множеств
ϕ
k
(
x
) cos
kt, ϕ
k
(
x
) sin
kt k,
k
a
∈
N, n
0
< k
≤
n
;
n
ϕ
k
(
x
) cos
a
b
mt, ϕ
k
(
x
) sin
a
b
mt
|
(
k, m
)
∈
M, k, m
≤
n
o [
[
ϕ
k
(
x
) cos
kt, ϕ
k
(
x
) sin
kt k,
k
a
∈
N, k
≤
n
0
.
Рассмотрим на подпространстве
E
n
функционал
F
(
u
) =
1
2
(
Au, u
)+
+
Z
Ω
G
(
x, t, u
)
dxdt
, где
G
(
x, t, u
) =
u
Z
0
g
(
x, t, s
)
ds.
Доказательство теоремы проведем, используя метод Файрайсла [14],
разобьем доказательство на две части.
1. Доказательство существования критических точек
F
|
E
n
.
2. Переход к пределу при
n
→ ∞
.
1.
Доказательство существования критических точек
F
|
E
n
.
Представим
E
n
=
G
c
⊕
L
c
, где
G
c
, L
c
— линейные комбинации соб-
ственных функций оператора
A
с собственными значениями больши-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
7