3 / 12
Решение задачи (1)–(3) представим суммой ряда Фурье. Для по-
строения соответствующей ортонормированной системы запишем за-
дачу Штурма – Лиувилля в виде уравнений
−
(
p
(
x
)
ϕ
0
(
x
))
0
=
λp
(
x
)
ϕ
(
x
);
(8)
ϕ
(0) =
ϕ
(
π
) = 0
.
(9)
Рассмотрим пространства
L
2
(0
, π
)
и
L
2
(Ω)
, скалярное произведе-
ние в которых задается равенствами
(
ϕ, ψ
) =
Z
[0
,π
]
ϕ
(
x
)
ψ
(
x
)
p
(
x
)
dx, ϕ, ψ
∈
L
2
(0
, π
);
(
u, v
) =
Z
Ω
u
(
x, t
)
v
(
x, t
)
p
(
x
)
dx dt, u, v
∈
L
2
(Ω)
.
Для любой функции
u
∈
L
2
(Ω)
обозначим
||
u
||
=
p
(
u, u
)
.
Задача, описываемая уравнениями (8), (9), имеет положительные,
простые собственные значения
λ
=
λ
2
n
,
n
∈
N
(
λ
n
>
0)
, которым
соответствуют собственные функции
ϕ
n
(
x
)
[12]. Предположим, что
функции
ϕ
n
(
x
)
нормированы в пространстве
L
2
(0
, π
)
. Согласно тео-
реме Стеклова, система функций
{
ϕ
n
(
x
)
}
является полной ортонорми-
рованной в пространстве
L
2
(0
, π
)
. Из уравнений (8), (9) следует, что
система функций
ϕ
0
n
(
x
)
λ
n
также ортонормирована в пространстве
L
2
(0
, π
)
. Для задачи Штурма – Лиувилля (8), (9) доказано следующее
асимптотическое представление собственных значений [12]:
λ
n
=
n
+
B
2
π
1
n
+
α
n
,
(10)
где
α
n
=
O
1
n
2
, n
∈
N
.
Пусть
H
1
(Ω)
— пространство Соболева, полученное замыканием
пространства
C
∞
(Ω)
по норме
||
u
||
1
=
Z
Ω
(
u
2
+
u
2
x
+
u
2
t
)
p
(
x
)
dxdt
1
/
2
,
H
0
1
(Ω)
— пространство, полученное замыканием по норме
|| ∙ ||
1
про-
странства бесконечно дифференцируемых во множестве
Ω
функций,
финитных по
x
на отрезке
[0
, π
]
при каждом
t
. Система функций
Λ =
(
1
√
T
ϕ
n
(
x
)
,
r
2
T
ϕ
n
(
x
) cos
a
b
mt ,
r
2
T
ϕ
n
(
x
) sin
a
b
mt
)
m,n
∈
N
является полной ортонормированной в пространстве
L
2
(Ω)
системой.
Обозначим
D
множество конечных линейных комбинаций функций
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
5