УДК 519.87
В. Н. О р л о в
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ
В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВИЖНОЙ ОСОБОЙ
ТОЧКИ
Предложено приближенное решение дифференциального уравнения
Абеля в окрестности подвижной особой точки. Исследовано влия-
ние возмущения подвижной особой точки на приближенное реше-
ние.
E-mail:
Ключевые слова
:
дифференциальное уравнение Абеля, приближенное
решение, подвижная особая точка, погрешность приближенного реше-
ния, возмущение подвижной особой точки.
К уравнению Абеля приводят задачи нелинейной оптики при
описании сверхизлучательной лавины [1–3], теории конечной упру-
гости [4], нелинейной диффузии [5], задачи оптимизации стержня
реактора [6], нелинейной теплопроводности установившегося режи-
ма [7–9], нелинейной волновой теории [10].
В связи с тем, что дифференциальное уравнение Абеля в общем
случае не разрешимо в квадратурах, а наличие подвижных особых
точек (критических полюсов) не позволяет применять к этому урав-
нению существующие приближенные методы, задача приближенно-
го решения уравнения Абеля является актуальной. Она разбивается
на: 1) приближенное решение дифференциального уравнения в обла-
сти аналитичности; 2) нахождение подвижных особых точек решения
дифференциального уравнения Абеля с заданной точностью; 3) при-
ближенное решение дифференциального уравнения Абеля в окрест-
ности подвижной особой точки.
В настоящей работе представлено исследование приближенного
решения рассматриваемого уравнения в окрестности подвижной осо-
бой точки.
Теорема существования решения дифференциального уравне-
ния Абеля в окрестности подвижной особой точки.
Рассмотрим
задачу Коши для уравнения Абеля в нормальной форме
w
0
(
x
) =
w
3
(
x
) + Φ(
x
);
(1)
w
(
x
0
) =
w
0
,
(2)
к которому приводится с помощью определенной замены переменных
дифференциальное уравнение Абеля 1-го рода
w
0
(
x
) =
f
0
(
x
) +
f
1
(
x
)
w
(
x
) +
f
2
(
x
)
w
2
(
x
) +
f
3
(
x
)
w
3
(
x
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
23
