В свою очередь к уравнению Абеля 1-го рода с помощью некоторой
замены переменных приводится уравнение Абеля 2-го рода [11]
[
g
0
(
x
)+
g
1
(
x
)
w
(
x
)]
w
0
(
x
) =
f
0
(
x
)+
f
1
(
x
)
w
(
x
)+
f
2
(
x
)
w
2
(
x
)+
f
3
(
x
)
w
3
(
x
)
.
Теорема 1.
Пусть
1)
функция
Φ(
x
)
2
C
∞
в области
(
x
−
x
)
< ρ
1
,
(3)
где
0
< ρ
1
=
const
, x
— подвижная особая точка решения задачи
(1)
–
(2);
2)
Φ
(
n
)
(
x
)
n
!
6
M
1
,
8
x
из
(3)
,
где
n
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
M
1
=
const
.
Тогда существует единственное решение уравнения
(1)
в виде
w
(
x
) = (
x
−
x
)
ρ
∞
X
0
C
n
(
x
−
x
)
n/
2
,
(4)
где
ρ
=
−
1
2
;
C
0
6
= 0
,
правильная часть которого сходится в области
x
−
x < R
1
(5)
8
x < x ,
где
R
1
= min
{
ρ
1
, ρ
2
}
, ρ
2
=
1
3
p
2
4
(1 +
M
)
2
,
M
= sup
n,G
Φ
(
n
)
(
x
)
n
!
, n
= 0
,
1
,
2
, ... , G
=
{
x
:
x
−
ρ
1
< x < x
}
.
Доказательство.
Находим формальное решение уравнения (1) в
окрестности подвижной особой точки
x
в виде (4). Для этого пред-
ставим
Φ(
x
)
в окрестности точки
x
в виде
Φ(
x
) =
∞
X
0
A
n
(
x
−
x
)
n
(6)
в силу того, что для
Φ(
x
)
точка
x
— регулярная. Подставляя (4) и (6)
в (1), получаем
−
∞
X
0
C
n
ρ
+
n
2
(
x
−
x
)
n
2
+
ρ
−
1
=
=
∞
X
0
C
n
(
x
−
x
)
n
2
+
ρ
!
3
+
∞
X
0
A
n
(
x
−
x
)
n
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
