или, после преобразования,
−
∞
X
0
C
n
n
2
+
ρ
(
x
−
x
)
n
2
+
ρ
−
1
=
∞
X
0
D
n
(
x
−
x
)
n
2
+3
ρ
,
(7)
где
D
n
=
C
n
для
n
= 2
k
,
k
= 0
,
1
,
2
, . . . ;
D
n
=
C
n
для
n
= 1
;
D
n
=
C
n
+
A
n
1
для
n
= 2
k
+ 1
,
k
= 1
,
2
, . . . ,
n
1
= 0
,
1
, . . . ;
C
n
=
n
X
0
C
i
C
n
−
i
, C
n
=
n
X
0
C
i
C
n
−
i
.
Равенство (7) обратится в тождество при условиях
n
2
+
ρ
−
1 =
n
2
+ 3
ρ
;
(8)
−
C
n
n
2
+
ρ
=
D
n
.
(9)
Из (8) получаем
ρ
=
−
1
2
, а соотношение (9) позволяет однозначно
определить все
C
n
. Таким образом, получаем формальное предста-
вление решения уравнения (1) в виде (4) в окрестности подвижной
особой точки
x
. В силу однозначности определения коэффициентов
C
n
из (9) следует единственность полученного формального решения.
Покажем сходимость правильной части ряда в правой части равен-
ства (4) в области (5). Из условия 2 теоремы 1 следует существование
M
= sup
n,G
Φ
(
n
)
(
x
)
n
!
,
(10)
где
M
=
const,
n
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
G
=
{
x
:
x
−
ρ
1
< x < x
}
. Следова-
тельно,
|
A
n
| ≤
M, n
= 0
,
1
,
2
, . . . .
(11)
Из (9) имеем
C
0
=
±
1
√
2
,
C
1
= 0
,
C
2
= 0
,
C
3
=
−
2
5
A
0
,
C
4
= 0
,
C
5
=
−
2
5
A
1
, . . . . С учетом (11) методом математической индукции
доказана справедливость оценок
|
C
3
n
|
6
2
2
n
−
4
3
n
+ 2
(1 +
M
)
n
=
ϑ
3
n
;
(12)
|
C
3
n
+1
|
6
2
2
n
−
4
3
n
+ 3
(1 +
M
)
n
=
ϑ
3
n
+1
;
(13)
|
C
3
n
+2
|
6
2
2
n
−
4
3
n
+ 4
(1 +
M
)
n
=
ϑ
3
n
+2
.
(14)
Ограничимся случаем оценки (12). Предположим для определенности,
что
3
n
+ 3 = 2
k
+ 1
,
k
= 0
,
1
,
2
, . . . . Тогда из (9) с учетом (12)–(14)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
25
