7 / 17
В.И. Горбачев
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
в круглых скобках будет обозначать производную
q
-го порядка
( )
3
,
q
i
q
i
q
d w w
dx
а производные по
3
,
x
где это приемлемо, также будем обозначать штрихами.
В соответствии с формулами Коши
,
,
(
) / 2
ij
i j
j i
e v v
единственной ненуле-
вой компонентой тензора деформаций является продольная компонента
33 3,3
3,3
,33
3
1 2 3
2 1 3
( )
( )
( ),
I I
e v w x w x x x x x
(20)
где
3
( )
x
—
продольная деформация оси
3
;
x
1 3
( ),
x
2 3
( )
x
—
кривизны про-
екций изогнутой оси
3
x
на координатные плоскости
2 3
,
x x
и
1 3
, ;
x x
3 1
2 2
1
,
,
.
w
w
w
(21)
Предположим, что прогибы
3
( )
I
w x
оси в каждой точке малы по сравнению
с характерным размером поперечного сечения, малы и углы поворота попереч-
ного сечения:
,3
1.
I
w
Статическая гипотеза.
Эта гипотеза утверждает, что продольные «волок-
на» стержня (под волокном в рассматриваемом случае понимается материальная
линия, параллельная оси стержня) деформируются независимо друг от друга.
Иными словами, на волокно не оказывается поперечных воздействий, препят-
ствующих его свободной продольной деформации. В соответствии со статической
гипотезой продольное напряжение в волокне определяют из одномерного закона
Гука
33 3 33 3
3
1 2 3
2 1 3
[ ( )
( )
( )],
E e E x x x x x
(22)
где
3
E
— продольный модуль Юнга. В изотропном случае соотношение (22) можно
получить из обобщенного закона Гука
33 33
,
(1 )(1 2 )
1
ij
ij
ij
E
E
e
если
коэффициент Пуассона
принять равным нулю. Тогда
33 33
,
ij
ij
E e
т. е. из всех
компонент тензора напряжений отлично от нуля только продольное напряжение
33
33
.
Ee
Таким образом, статическая гипотеза в классическом сопротивлении
материалов эквивалентна предположению о нулевом коэффициенте Пуассона.
Определяющие соотношения теории стержня Бернулли — Эйлера.
Эти
соотношения связывают внутренние силовые факторы
1 2
,
,
T M M
с кинемати-
ческими характеристиками
1 2
, ,
оси стержня. Для того чтобы их получить
подставим напряжение
33
(22) в интегралы (14), (16) и найдем
1 1
1
2
2
2
;
;
,
I I
J J
J J
T A B M B D M B D
(23)
где
A
—
продольная жесткость;
I
B
—
жесткости взаимного влияния;
IJ
D
—
компоненты тензора изгибной жесткости;