4 / 17
Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
59
1
1
1
1
1
0;
;
ijmn mkl n ijkl j
o
ijmn mkli n ijmi
mkl
ii mn mkl n ii kl
ii kl
j
C N C
C N C N C C N C
(9)
1
1 1
1 1
1
1 2
...
при 2.
q
q
q
q
q
q q
q
ijmn mkli …i n ijmi
mkli i
j
ii mn mkli …i
n ii mi
mkli …i
C N
C N
C N
C N
q
(10)
Граничные условия для
N
-функций легко следуют из граничных условий
исходной задачи и представлений (5), (6) для перемещений и напряжений.
Например, в случае, когда исходная задача является первой краевой задачей,
тогда и сопутствующая задача также представляет собой первую краевую зада-
чу. Следовательно, в представлении (5) для перемещений все
N
-функции долж-
ны обращаться в нуль на границе неоднородного тела:
1
( ) 0
.
q
miji …i
N y
y
(11)
В случае периодически неоднородного тела уравнения (9), (10) решают в
ячейке периодичности. Отыскивают непрерывные периодические решения. Та-
кие решения определены с точностью до постоянных величин [6], которые
находят из условия обращения в нуль средних значений
N
-функций в ячейке
периодичности.
Элементы классического сопротивления материалов.
Рассмотрим стержень
длиной
,
L
находящийся в равновесии под действием внешних поверхностных и
объемных распределенных нагрузок. Стержень предполагается прямолинейным.
Поперечное сечение может быть переменным по длине, но так, чтобы центры тя-
жести всех сечений располагались на прямой оси стержня. В классической теории
стержня Бернулли — Эйлера материал предполагают однородным и изотропным.
Предположим, что материал стержня неоднородный и анизотропный. Несмотря
на это, используем гипотезы классической теории. Результат будем называть про-
стейшей теорией неоднородного анизотропного стержня. Уравнения классиче-
ской теории следуют из простейшей теории, если отказаться от предположения
об анизотропии и неоднородности материала.
Выберем начало правой декартовой системы координат в плоскости крайнего
(левого) торца стержня. Ось
3
x
направим параллельно геометрической оси стерж-
ня, а оси
1 2
,
x x
расположим в плоскости его торцевого поперечного сечения.
Поверхностные и объемные силы приведем к статически эквивалентной си-
стеме нагрузок, состоящей из векторов силы
3
( )
q x
и момента
3
( ),
m x
распреде-
ленных вдоль оси
3
.
x
Предположим, что крутящий момент отсутствует:
3
0.
m
К внешним силам относятся также и реакции опор, которые представляют со-
бой сосредоточенные силы и моменты. В статически определимых задачах ре-
акции опор известны и, следовательно, векторы
q
и
m
вполне определены.
В статически неопределимом случае в выражения для эквивалентных нагрузок
будут входить неизвестные сосредоточенные величины, которые необходимо