6 / 17
Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
61
1 3
2 33
2 3
2 33
3 3
1 32 2 31
( )
;
( )
;
( ) (
) .
F
F
F
M x x dF M x
x dF M x
x x dF
(16)
Крутящий момент
3 3
( )
M x
равен нулю в том случае, когда касательные
напряжения в каждом поперечном сечении стержня подчиняются следующему
условию:
1 32 2 31
(
)
0.
F
x x dF
Именно внутренние силовые факторы являются основными искомыми ве-
личинами в сопротивлении материалов и в строительной механике стержневых
конструкций. Отметим, что по известным напряжениям однозначно находят
все внутренние силовые факторы. Однако обратная задача восстановления
напряжений в поперечном сечении стержня по внутренним силовым факторам,
в общем случае, не имеет однозначного решения. Для однозначного решения
этой задачи необходимо использовать гипотезы о распределении напряжений
по сечению. Указанные гипотезы должны содержать достаточное число неиз-
вестных функций координаты
3
,
x
которые можно было бы однозначно выра-
зить через внутренние силовые факторы.
Уравнения Журавского.
Дифференцируя по
3
x
уравнения (13), получаем
уравнения Журавского [7], которые являются уравнениями равновесия элемен-
та
3
dx
оси стержня, нагруженного внутренними силами и распределенными
вдоль оси внешними силами [8]
3
3
;
.
Q q M m e Q M m e q
Запишем эти уравнения покомпонентно, введя другое (более привычное)
обозначение для продольной силы
3
3 3
( )
( ):
T x Q x
3 1
1 2
2 1
1 2 2
2 1
;
;
;
;
,
T q Q q Q q M m Q M m Q
(17)
или
3 1
1 2
2
2 1
;
;
.
T q M m q M m q
(18)
Отметим, что уравнения Журавского не зависят от статической определенности
или неопределенности стержня, а также от материала, из которого он изготов-
лен, т. е. фактически они не зависят от типа определяющих соотношений, свя-
зывающих внутренние силовые факторы с деформацией и кривизнами оси
стержня.
Кинематическая гипотеза Бернулли — Эйлера.
Перемещения при изгибе
и продольном растяжении (сжатии) однородного изотропного стержня опреде-
ляют в соответствии с гипотезой плоских сечений [9] по формулам
3
3
,3 3
( )
( ).
i
i
i K K
v w x
x w x
(19)
Здесь
3
( )
i
w x
— поперечные перемещения точек оси стержня (прогибы);
3 3
( )
w x
— продольное перемещение. Далее для краткости верхний индекс