3 / 17
В.И. Горбачев
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
Подставляя (4) в (3), получаем разложение решения исходной задачи в ряд
по производным деформаций в сопутствующей задаче:
1
1
0
( ) ( )
( )
( ).
q
q
i
i
ikli …i
kl i …i
q
u x v x
N x e
x
(5)
Функции
1
...
( )
q
ikli i
N x
представляют собой взвешенные моменты тензора де-
формаций Грина
1
1
( )
( )
( )
( )
( ) .
q
q
i
o
ikli …i
mn
mnkl
i …i
mnkl
V
N x
x C C
x dV
Структурные функции.
N
-Функции непрерывны по координатам и опре-
деляются только формой области и функциональной зависимостью коэффици-
ентов упругости от координат. В случае однородного тела (т. е. при
( )
)
o
ijkl
ijkl
C x C
все
N
-функции тождественно равны нулю, поэтому
N
-функции
называют
структурными функциями
. Координаты входят в функции упругих
модулей в безразмерном виде. Пусть
l
— характерный размер неоднородности
в поперечном сечении, например, характерный размер области изменения
свойств в поперечном сечении. В случае стержня из волокнистого композита
это может быть среднее расстояние между волокнами или размер ячейки пери-
одичности при периодическом расположении волокон. Можно полагать, что
модули упругости
1 2 3
(
),
ijkl
ijkl
C C
где
/ .
i
i
x l
Таким образом,
N
-
функции так же, как и модули упругости являются функциями переменных
,
i
и, как следует из формулы (5), размерность структурных функций представляет
собой возрастающую степень размерности длины, т. е.
1
1
1
...
...
.
q
q
q
ikli i
ikli i
N l N
Чертой обозначена безразмерная
N
-функция.
Ряды для деформаций и напряжений.
Из формул Коши и закона Гука сле-
дуют ряды для деформаций и напряжений в неоднородном теле
1
1
1
1
...
...
...
0
0
( )
( )
( );
( )
( )
( )
q
q
q
q
ij
ijkli …i
kl i i
ij
ij i i
ijkli i
q
q
x
B x e
x
x
x e
x
C
(6)
где
1
1
1 1
( )
( );
( )
( )
( );
q
q
q
q
ijkl
ijkl
ijmn mkl n
ijkli …i
ijmn mkli …i n
ijmi
mkli …i
B x
N x
B x
N
x
N
x
(7)
1
1
1 1
...
( )
;
.
q
q
q
q
ijkl
ijkl
ijmn mkl n
ijkli …i
ijmn mkli …i n ijmi
mkli i
C x C C N
C
C N
C N
(8)
Рекуррентные уравнения для структурных функций.
Подставим напря-
жения (6) в уравнения (1), (2) и учтем, что ( )
i
v x
является решением сопутству-
ющей краевой задачи. В результате получим систему вспомогательных рекур-
рентных уравнений для
N
-функций