10 / 17
Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
65
Ряды (31) становятся конечными суммами в том случае, когда продольная
деформация
3
( )
x
оси и ее кривизны
3
( )
I
x
являются полиномами конечной
степени от координаты
3
.
x
Коэффициенты
( )
( )
( )
( )
ˆ,
,
,
q I q I q IJ q
A B B D
представляют
собой коэффициенты жесткости
q
-го порядка, для каждого значения
q
всего
девять коэффициентов жесткости:
1) продольная жесткость
q
-го порядка
( )
,
q
A
учитывающая степень зависи-
мости продольной силы
T
от продольной деформации (
q
= 0) и от ее производ-
ных (
q
> 0);
2) жесткости
( )
ˆ
I q
B
влияния кривизн и их градиентов на продольную силу;
3) жесткости
( )
I q
B
влияния продольной деформации и ее производных на
изгибающие моменты;
4) компоненты тензора изгибной жесткости
( )
,
IJ q
D
которые определяют за-
висимость изгибающих моментов
I
M
от самих кривизн при
q
= 0 и от их про-
изводных при
q
> 0.
Коэффициенты жесткости нулевого порядка будем называть
эффективными
жесткостями неоднородного в поперечном сечении стержня.
В обозначениях эф-
фективных жесткостей опустим индекс ноль в круглых скобках, т. е.
(0)
,
A A
(0)
(0)
(0)
ˆ
ˆ ,
,
.
I
I I
I
IJ
IJ
B B B B D D
Эффективные жесткости могут быть функциями
продольной координаты. Отметим, что в общем случае жесткости взаимного влия-
ния не совпадают:
ˆ
,
I
I
B B
а изгибные жесткости несимметричны:
12
21
.
D D
Ана-
логичными свойствами обладают жесткости высших порядков.
Уравнения для перемещений продольной линии.
Далее из уравнений Жу-
равского (18), после подстановки в них выражений (31), получим три обыкно-
венных дифференциальных уравнения в общем случае бесконечного порядка
относительно перемещений оси стержня
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
( )
( )
0
0
ˆ
;
.
q
q
q
q
q
J q
I q
IJ q
I
J
J
q
q
A B
q
B
D
p
(33)
Рассмотрим случай, когда в каждом ряде удерживаются только первые чле-
ны, соответствующие
q
= 0. Такая теория в механике композитов, по предложе-
нию Б.Е. Победри, называется теорией нулевого приближения [10]. Теория ну-
левого приближения предполагает, что в определяющих соотношениях (31) ос-
новной вклад дают только деформации и кривизны, а влияние градиентов этих
величин незначительно.
Теория нулевого приближения.
Продольное напряжение
33
и
определя-
ющие соотношения теории неоднородной балки в нулевом приближении сле-
дуют из формул (30), (32) и при
q
= 0 имеют вид (нули в индексах опущены):
33
3333
2 3333 33332 1
1 3333 33331 2
C x C C
x C C
3333 3
3333 3333
;
K
K K
C w x C C w
(34)