2 / 17
Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
57
Интегральная формула в трехмерной задаче теории упругости неоднород-
ного тела.
Пусть неоднородное упругое тело находится в равновесии под действи-
ем внешних сил и перемещений. Введем декартову систему координат
1 2 3
,
Ox x x
ij
—
напряжения,
ij
— деформации,
i
u
— перемещения,
1 2 3
(
)
ijkl
C x x x
— ком-
поненты тензора модулей упругости, интегрируемые функции координат. В насто-
ящей работе приняты индексные обозначения компонент векторов и тензоров: ин-
дексы, набранные прописными латинскими буквами, принимают значения 1 и 2, а
строчными — значения 1, 2, 3. По повторяющимся индексам предполагается сум-
мирование в соответствующих пределах. Индекс после запятой обозначает произ-
водную по соответствующей координате.
Постановка исходной и сопутствующей трехмерной задачи неоднород-
ной упругости.
Задача статической теории упругости заключается в нахожде-
нии величин
,
ij
ij
i
u
удовлетворяющих в области
V
, занятой телом, уравне-
ниям
0
ij j
i
ij
ijkl kl
kl
klmn m n
X
C
u
(1)
а на границе
p u
— условиям
( );
( );
.
p
u
ij j
i
i
i
n p y u f y y
(2)
Здесь
klmn
— компоненты единичного тензора четвертого ранга [1], представ-
ляемые через символы Кронекера
(
) 2.
klmn
km ln kn lm
Задачу (1), (2) для
неоднородного тела будем называть исходной задачей, а точно такую же задачу
для однородного тела с постоянными модулями упругости
const
o
ijkl
C
— со-
путствующей задачей. Пусть
( ) ( ) ( )
i
ij
ij
v x e x x
— перемещения, деформации и
напряжения в сопутствующей краевой задаче.
Интегральная формула.
Решение линейной задачи для уравнения с пере-
менными коэффициентами связано с решением уравнения с постоянными ко-
эффициентами интегральной формулой (см. работы [2–4]). В случае статиче-
ской задачи теории упругости эта формула имеет вид [2]
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ,
i
o
i
i
mn
mnkl
kl
mnkl
V
u x v x
x C C e dV
(3)
где
( )
( )
i
mn
x
— тензор деформаций Грина исходной задачи теории упругости
для неоднородного тела (обозначения заимствованы у В. Новацкого [5]).
Представление решения исходной задачи в виде рядов по производным
решения сопутствующей задачи.
Предположим, что деформации в сопут-
ствующей задаче являются гладкими функциями координат .
i
x
Тогда в окрест-
ности любой точки
x V
их можно разложить в ряды Тейлора так, что в лю-
бой точке
V
справедливо следующее представление:
1
1
1
1
1
...
...
...
0
1
( )
( )
( );
( )
.
q
q
q
q
q
ij
i i
ij i i
i i
i
i
i
i
q
e
x e
x
x
x … x
q
(4)