7 / 12
О.В. Пугачев, Зо Тун Хан
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
Точность при значениях
> 0,2
быстро снижается, а при небольших значени-
ях
,
например при
< 0,1
(соответствует
2
< 0,1 / )
t
b a
относительная погрешность
примерно равна
1,3 / .
n
Если взять 4 300 частиц (см. работы [14, 15]), то получаем
значение погрешности
1,3 /
0,02.
n
Это значение в 1,5 раза меньше значения
погрешности, полученного рассмотренным в указанных работах методом. Время
блуждания каждой частицы будет существенно меньше:
2
0,1 /
b a
вместо
2
/ .
b a
Однако последнее обстоятельство не позволит сэкономить время вычислений:
траектории частиц должны быть существенно длиннее, чем размеры включений,
поэтому необходимо увеличить толщину слоя в 2–3 раза.
Эффективную теплопроводность находим, умножив эффективную темпера-
туропроводность на среднюю объемную теплоемкость:
ˆ =
1
2
( (1 )
),
a C
C
где
— доля объема композита, занимаемая включениями. В случае нетепло-
проводных включений следует принять
2
= 0.
C
Результаты вычислительных экспериментов.
Рассмотрим композит, со-
стоящий из матрицы (материал с объемной теплоемкостью
C
и коэффициен-
том теплопроводности
1
)
и шарообразных включений (материал с такой же
объемной теплоемкостью и коэффициентом теплопроводности
2
). Требуется
получить отношение эффективной теплопроводности
ˆ
композита к тепло-
проводности
1
материала матрицы. Поскольку это отношение зависит от от-
ношения
2 1
/ ,
но не зависит от конкретных значений
C
и
1
,
можно при-
нять
=1
C
Дж/(м
3
· K),
1
=1
Вт/(м
· K).
Рассмотрим шаровые включения одинаковым радиусом
,
R
расположенные
в узлах кубической решетки с шагом
> 2 ,
D R
и оценим эффективную теплопро-
водность вдоль одной из осей решетки, которую примем за ось
Ox
. Искомый
безразмерный результат будет зависеть от двух параметров — отношений
/
R D
и
2 1
/ .
Результат от значения
D
зависеть не будет, поэтому в вычислениях
можем принять
=1
D
мкм.
Смоделируем диффузионный процесс
( , , ),
t t
t
X Y Z
описанный выше. При-
мем толщину слоя
=10
b
мкм.
В ходе одного эксперимента рассмотрим такие значения
T
, что для одно-
родного материала матрицы
( = 0)
R
соответствующие значения безразмерного
времени
были равны 0,03; 0,04; 0,05; 0,06; 0,07; 0,08; 0,09. Согласно сотноше-
нию
2
= / ,
at b
перечисленным значениям соответствуют значения
T
= 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 мc.
Для повышения точности результатов усредним значения
ˆ ,
a
полученные
для семи различных значений
.
T
Если эти величины независимы, то точность
возрастет в
7
раз, а относительная погрешность при доверительной вероят-
ности 95 % составит 0,75 %. Однако такая априорная оценка точности сомни-
тельна, поскольку измерения значений
x
проведены хотя и в разные моменты
времени, но для одних и тех же частиц. Поэтому точность усредненных оценок