3 / 12
О.В. Пугачев, Зо Тун Хан
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
Одномерный случайный процесс
0
{ }
w
называется стандартным вине-
ровским, если
(0, )
w
и его приращения
2
1
1
, ,
,
k
k
w w w w
1 2
0 < < <
k
независимы. Параметр
имеет размерность квадрата рассто-
яния. Если компоненты
,
t
,
t
t
трехмерного случайного процесса — незави-
симые винеровские процессы с распределением
(0, 2 )
at
, то плотность рас-
пределения случайной величины
( , ,
)
t t
t
при заданном значении
> 0
t
вы-
ражается формулой (2). Следовательно, решение уравнения теплопроводности
по формуле (1) может быть получено с использованием винеровского процесса:
пусть трехмерная случайная величина
0 0 0
( , , )
X Y Z
имеет плотность распределе-
ния
0
( , , )
u x y z
, тогда трехмерная случайная величина c координатами
0
0
0
=
,
= ,
=
t
t
t
t
t
t
X X Y Y Z Z
будет иметь плотность распределения
( , , , )
u t x y z
. В рассматриваемой математической модели процесс теплопровод-
ности представлен как случайное блуждание виртуальных частиц теплоты, ко-
торые являются выборкой из распределения с плотностью, в каждый момент
времени пропорциональной плотности внутренней энергии.
Решение уравнения теплопроводности с помощью случайных процессов
можно модифицировать для ограниченного тела
,
U
на поверхности которого
отсутствует теплообмен с окружающей средой путем теплопроводности или из-
лучения: траектории виртуальных частиц должны отражаться от теплоизолиро-
ванной поверхности.
Смещение центра внутренней энергии.
Пусть
U
— тело в пространстве.
Обозначим через
плотность внутренней энергии:
Cu
(температура, от-
считываемая от выбранного нуля, умноженная на объемную теплоемкость). То-
гда полная внутренняя энергия тела равна
= ( , , )
.
U
E
x y z dxdydz
Статическими моментами внутренней энергии назовем величины
=
,
=
,
=
.
x
y
z
U
U
U
M x dxdydz M y dxdydz M z dxdydz
Центр внутренней энер-
гии — точка с координатами
= , = , = .
y
x
z
M M
M
x
y
z
E
E
E
Идея метода, применяемого в настоящей работе, заключается в том, чтобы
оценить теплопроводность по скорости смещения центра внутренней энергии,
который находим как центр локализации виртуальных частиц. Рассмотрим слой
{0
}
x b
с коэффициентом температуропроводности
a
, имеющий тепло-
изолированные поверхности. Пусть в начальный момент времени
( = 0)
t
внутренняя энергия распределена с единичной поверхностной плотностью в
бесконечно тонком слое у поверхности
{ = 0}
x
, т.
е.
( , , ) = ( ),
x y z
x
где
—
дельта-функция Дирака. Температура
u
не зависит от параметров
,
y
z
и далее
зависеть не будет
( = ( , )).
u u x t